Bài 21 trang 125 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn tâm \(O\) có bán kính \(OA=R\), dây \(BC\) vuông góc với \(OA\) tại trung điểm \(M\) của \(OA\).

a) Từ giác \(OCAB\) là hình gì? Vì sao?  

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại \(B\), nó cắt đường thẳng \(OA\) tại \(E\). Tính độ dài \(BE\) theo \(R\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) Vận dụng kiến thức : Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối.

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh \(BM = MC.\)

Ta có \(OA\) là bán kính, \(BC\) là dây không đi qua tâm, \(OA \bot BC\) (giả thiết) nên \(BM = MC = \dfrac{1}{2}BC.\)

Tứ giác \(OCAB\) có \(MB = MC\) (chứng minh trên) và \(MA = MO\left( {gt} \right)\) nên \(OCAB\) là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành).

Hình bình hành \(OCAB\) có hai đường chéo \(OA\) và \(BC\) vuông góc với nhau nên là hình thoi.

b) Ta có : \(OA = OB = R;OB = BA\) (theo câu a) nên tam giác \(AOB\) là tam giác đều, do đó \(\widehat {AOB} = {60^o}.\)

Xét tam giác \(OBE\) vuông tại \(B,\) ta có :

\(BE = BO.\tan \widehat {BEO} \)\(= R.\tan {30^o} = R\sqrt 3 .\)