Bài 2.19 trang 38

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:

\({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (n + 1){.2^n} = n{.2^{n + 1}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh (*) \({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (n + 1){.2^n} = n{.2^{n + 1}}\) bằng PP quy nạp.

Với \(n = 1\) ta có \({2.2^1} = {1.2^{1 + 1}}\)

Vậy (*) đúng với \(n = 1\)

Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} = k{.2^{k + 1}}\)

Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) 

tức là chứng minh  \({2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} + (k + 2){.2^{k + 1}} = (k + 1){.2^{k + 2}}\)

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} + (k + 2){.2^{k + 1}}\\ = k{.2^{k + 1}} + (k + 2){.2^{k + 1}} = (2k + 2){.2^{k + 1}}\\ = 2(k + 1){.2^{k + 1}} = (k + 1){.2^{k + 2}}\end{array}\)

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)