Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.

a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện các đều các đỉnh.

b) Tính toán dựa vào các kiến thức hình học đã biết.

Lời giải chi tiết

a) Gọi I là trung điểm của cạnh AB.

Vì tam giác ABC vuông cân tại C nên ta có IA = IB = IC.

Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC phải nằm trên đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I.

Ta suy ra d’ // d. Do đó d’ cắt SB tại trung điểm O của đoạn SB. Ta có OB = OS = OA = OC và như vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SABC.

b) Trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300 thì góc của hai mặt phẳng đó chính là góc $\hat{S C A}$ .

Thật vậy, vì $S A ⊥ (A B C)$ mà $A C ⊥ C B$ nên ta có $S C ⊥ C B$ . Do đó $\hat{S C A} = 30^{0}$ .

Vì AB = 2a nên ta có $A C = a \sqrt{2}$ ta suy ra $S A = A C . \tan 30^{0} = a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện khi $\hat{S C A} = 30^{0}$ .

Ta có $r = \frac{S B}{2} = O A = O B = O C = O S$ , trong đó SB2 = SA2 + AB2

Vậy $S B^{2} = \frac{6 a^{2}}{9} + 4 a^{2} = \frac{42 a^{2}}{9}$ .

Do đó, $S B = \frac{a \sqrt{42}}{3}$

Ta suy ra $r = \frac{S B}{2} = \frac{a \sqrt{42}}{6}$ .

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Câu hỏi trắc nghiệm chương II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024