Bài 25 trang 129 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB\) (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi \(Ax,\ By\) là các tia vuông góc với \(AB\) (\(Ax,\ By\) và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB\)). Qua điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn (\(M\) khác \(A\) và \(B\)), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt \(Ax\) và \(By\) theo thứ tự ở \(C\) và \(D\).

Chứng minh rằng: 

a) \(\widehat {CO{\rm{D}}} = {90^0}\)

b) \(CD=AC+BD\)

c) Tích \(AC.BD\) không đổi khi điểm \(M\) di chuyển trên nửa đường tròn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù.

b) Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

c) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức \({h^2} = b'.c'\) vào tam giác vuông \(COD.\)

Lời giải chi tiết

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có

\(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)

\(OD\) là tia phân giác của \(\widehat {MOB}\)

Hai góc \(\widehat {AOM}\) và \(\widehat {MOB}\) kề bù nên \(OC \bot OD.\) Vậy \(\widehat {COD} = {90^o}.\)

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có :

\(AC = MC,BD = MD.\)

Suy ra \(AC + BD = MC + MD = CD\)

Vậy \(CD = AC + BD.\)

c) Ta có \(AC = MC,BD = MD,\) nên \(AC.BD = MC.MD\)

Xét tam giác \(COD\) vuông tại \(O,\) đường cao \(OM,\) ta có

\(CM.DM = O{M^2}.\)

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \(\left( O \right),\) ta có \(OM = R.\)

Do đó \(AC.BD = {R^2}\) (không đổi).