Bài 2.51 trang 85 SBT đại số và giải tích 11

Hai học sinh đó trượt Toán;

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất biến cố \(A\) và \(B\) độc lập khi và chỉ khi \(P(A.B)=P(A).P(B)\) để tính \(P(A.B)\).

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu \({A_1},{A_2},{A_3}\) lần lượt là các biến cố: Học sinh được chọn từ khối I trượt Toán, Lí, Hoá; \({B_1},{B_2},{B_3}\) lần lượt là các biến cố: Học sinh được chọn từ khối II trượt Toán, Lí, Hoá. Rõ ràng với mọi \((i,j)\), các biến cố \({A_i}\) và \({B_j}\) độc lập.

Do đó ta có xác suất hai học sinh đó trượt Toán là \(P\left( {{A_1}.{B_1}} \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_1}} \right) \)

\(= \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{{16}}\).

Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó;

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất biến cố \(A\) và \(B\) độc lập khi và chỉ khi \(P(A.B)=P(A).P(B)\)

Sử dụng tính chất nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử thì của xác suất \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu \({A_1},{A_2},{A_3}\) lần lượt là các biến cố: Học sinh được chọn từ khối I trượt Toán, Lí, Hoá; \({B_1},{B_2},{B_3}\) lần lượt là các biến cố: Học sinh được chọn từ khối II trượt Toán, Lí, Hoá. Rõ ràng với mọi \((i,j)\), các biến cố \({A_i}\) và \({B_j}\) độc lập.

Ta có \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) là ba biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh nên \(P(A_1\cup A_2\cup A_3)\)

\(=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)\)

\(=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{2}\)

Tương tự ta tính được \(P(B_1\cup B_2\cup B_3)=\dfrac{1}{2}\)

Xác suất để hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó là \(P\left( {\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right) \cap \left( {{B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}} \right)} \right) \)

\(= P\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right).P\left( {{B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}} \right) \)

\(= \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\).

Hai học sinh đó không bị trượt môn nào;

Phương pháp giải:

Với bài toán này ta tính xác suất bằng cách sử dụng hệ quả: Với mọi biến cố \(A\) ta có \(P(\overline{A})=1-P(A)\).

Sử dụng tính chất biến cố \(A\) và \(B\) độc lập khi và chỉ khi \(P(A.B)=P(A).P(B)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3},B = {B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}\).

Cần tính \(P\left( {\overline A  \cap \overline B } \right).\)

Ta có \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) là ba biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh nên \(P(A_1\cup A_2\cup A_3)\)

\(=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)\)

\(=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{2}\)

Tương tự ta tính được \(P(B_1\cup B_2\cup B_3)=\dfrac{1}{2}\)

Do \(\overline A \) và \(\overline B \) độc lập nên \(P\left( {\overline A  \cap \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right) \)

\(= \left[ {1 - P\left( A \right)} \right]\left[ {1 - P\left( B \right)} \right] \)

\(= \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\).

Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một môn

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất biến cố \(A\) và \(B\) độc lập khi và chỉ khi \(P(A.B)=P(A).P(B)\)

Sử dụng tính chất với hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kì cùng liên quan đến phép thử thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) -\)

\(P\left( {A \cap B} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3},B \)

\(= {B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}\), \(P(A)=P(A_1\cup A_2\cup A_3)=\dfrac{1}{2}\), \(P(B)=P(B_1\cup B_2\cup B_3)=\dfrac{1}{2}\), \(P(A\cap B)=P(A.B)=P(A).P(B)\)

\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)

Cần tính \(P\left( {A \cup B} \right)\)

Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) \)

\(- P\left( {A \cap B} \right)\)

\(= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\)

\(= \dfrac{3}{4}\).