Bài 27 trang 107 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Kẻ đường cao \(AH\). Tính \(\sin B, \sin C\) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng:

a)   \(AB = 13\);    \(BH = 5\).

b)   \(BH = 3\);      \(CH = 4\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) \(A{B^2} = BH.BC\) hay \({c^2} = a.c'\)

+) \(A{C^2} = CH.BC\) hay \({b^2} = ab'\)

+) \(AB^2+AC^2=BC^2\) hay \(c^2+b^2=a^2\) (định lý Pytago)

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

 \(\sin \alpha  = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha  = \dfrac{{AC}}{{BC}};\)\(\tan \alpha  = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha  = \dfrac{{AC}}{{AB}}.\)  

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(\cos \widehat B = \dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{5}{{13}}\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)

Suy ra: \(\sin \widehat C = c{\rm{os}}\widehat B = \dfrac{5}{{13}} \approx 0,3864.\)

Áp dụng định lí Pytago, ta có: 

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \)\(\Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\)\( = {13^2} - {5^2} = 144\)

Suy ra: \(AH = 12\)

Ta có: \(\sin B = \dfrac {{AH}}{{AB}} = \dfrac{{12}}{{13}} \approx 0,9231\)

b) Ta có:

\(BC = BH + HC = 3 + 4 = 7\)

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

\(A{B^2} = BH.BC\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {BH.BC}  = \sqrt {3.7}  = \sqrt {21} \) 

\(\eqalign{
& A{C^2} = CH.BC \cr 
& \Rightarrow AC = \sqrt {CH.BC}\cr & = \sqrt {4.7} = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \cr} \)

Suy ra: \(\sin \widehat B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{ 7} \approx 0,7559\)

\(\sin \widehat C = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7} \approx 0,6547\)