Bài 3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Nội dung câu hỏi

Cho phép tịnh tiến \({T_{\vec u}}\) trong đó \(\vec u = \left( {3;5} \right)\)

a) Tìm ảnh của các điểm \(\;A\left( {-3;{\rm{ }}4} \right),{\rm{ }}B\left( {2;{\rm{ }}-7} \right)\;\)qua \({T_{\vec u}}\)

b) Biết rằng M’(2; 6) là ảnh của điểm M qua \({T_{\vec u}}\). Tìm tọa độ của điểm M.

c) Tìm ảnh của đường thẳng \(d:{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) qua \({T_{\vec u}}\).

3. Lời giải chi tiết

a) Đặt \(A'\left( {x';y'} \right) = {T_{\vec u}}\left( A \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {A{A'}}  = \vec u\) mà \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {x' + 3;y' - 4} \right)\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x'}} + 3 = 3}\\{{\rm{y'}} - 4 = 5}\end{array}} \right.\)

Vì vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x'}} = 0}\\{{\rm{y'}} = 9}\end{array}} \right.\)

Suy ra tọa độ A’(0; 9).

Đặt \(B'\left( {x'';y''} \right) = {T_{\vec u}}\left( B \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {BB'}  = {\rm{\vec u}}\) mà \(\overrightarrow {BB'}  = \left( {x'' - 2\;;\;{\rm{y''}} + 7} \right)\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x''}} - 2 = 3}\\{{\rm{y''}} + 7 = 5}\end{array}} \right.\)

Vì vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x''}} = 5}\\{{\rm{y''}} =  - 2}\end{array}} \right.\)

Suy ra tọa độ B’(5; –2).

Vậy ảnh của các điểm A, B qua \({T_{\vec u}}\) lần lượt là các điểm A’(0; 9), B’(5; –2).

b) Gọi \(M({x_M};{\rm{ }}{y_M}).\)

Theo đề, ta có \(M' = {T_{\vec u}}\left( M \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {MM'}  = {\rm{\vec u}}\), mà \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {2 - {{\rm{x}}_{\rm{M}}}\;;\;6 - {{\rm{y}}_{\rm{M}}}} \right)\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - {{\rm{x}}_{\rm{M}}} = 3}\\{6 - {{\rm{y}}_{\rm{M}}} = 5}\end{array}} \right.\)

Vì vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{x}}_{\rm{M}}} =  - 1}\\{{{\rm{y}}_{\rm{M}}} = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ M(–1; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Chọn điểm \(N\left( {-1;{\rm{ }}1} \right) \in d:{\rm{ }}4x-3y + 7 = 0.\)

Gọi \(N'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)\) lần lượt là ảnh của N qua \({T_{\vec u}}\)

Ta có \({T_{\vec u}}\left( N \right) = N'\), suy ra \(\overrightarrow {N{N'}}  = \vec u\) với \(\overrightarrow {NN'}  = \left( {x' + 1;y' - 1} \right)\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x'}} + 1 = 3}\\{{\rm{y'}} - 1 = 5}\end{array}} \right.\)

Vì vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x'}} = 2}\\{{\rm{y'}} = 6}\end{array}} \right.\)

Suy ra tọa độ N’(2; 6).

Đường thẳng \(d:{\rm{ }}4x-3y + 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {4; - 3} \right)\).

Gọi d’ là ảnh của d qua \({T_{\vec u}}\) do đó d’ song song hoặc trùng với d nên d’ nhận \({\vec n_d} = \left( {4; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có d’ là đường thẳng đi qua \(M'\left( {2;{\rm{ }}6} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = \left( {4; - 3} \right)\) nên có phương trình là:

\(4\left( {x-2} \right)-3\left( {y-6} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x-3y + 10 = 0.\)

Vậy ảnh của đường thẳng \(d:4x-3y + 7 = 0\) qua \({T_{\vec u}}\) là đường thẳng \(d':4x-3y + 10 = 0.\)