Bài 3 trang 35 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:

\(\left( C \right):{\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\; + {\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Viết phương trình ảnh của (C)

a) qua phép vị tự tâm O, tỉ số \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}2;\)

b) qua phép vị tự tâm \(I\left( {1;{\rm{ }}1} \right),\) tỉ số \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}-2.\)

3. Lời giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\; + {\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có tâm A(–2; 1) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} - \left( { - 4} \right)}  = 3\)

a) Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\)

Khi đó (C’) có tâm ảnh của A qua \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\) và bán kính

Gọi \(A'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)\) là ảnh của A qua \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\).

Suy ra \(\overrightarrow {OA'}  = 2\overrightarrow {OA} \) với \(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {OA'}  = \left( {x';y'} \right)\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2.( - 2) =  - 4\\y' = 2.1 = 2\end{array} \right.\)

Vì vậy \(\;A'\left( {-4;{\rm{ }}2} \right).\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \(\;{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}36.\)

b) Gọi đường tròn (C’’) là ảnh của đường tròn (C) qua \({V_{\left( {I,{\rm{ }}-2} \right)}}.\)

Khi đó \(\left( {C'''} \right)\) có tâm ảnh của A qua \({V_{\left( {I,{\rm{ }}-2} \right)}}\) và bán kính \(R'' = {\rm{ }}\left| {-2} \right|.R{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3{\rm{ }} = {\rm{ }}6.\)

Gọi \(A''\left( {x'';{\rm{ }}y''} \right)\) là ảnh của A qua \({V_{\left( {I,{\rm{ }}-2} \right)}}.\)

Suy ra \(\overrightarrow {IA'}  =  - 2\overrightarrow {IA} \) với \(\overrightarrow {I{A'}}  = \left( {{{x'}'} - 1;{{y'}'} - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {IA}  = \left( { - 3;0} \right)\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x'' - 1 = \left( { - 2} \right).( - 3)\\y' - 1 = \left( { - 2} \right).0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = 7\\y' = 1\end{array} \right.\)

Suy ra tọa độ \(A''\left( {7;{\rm{ }}1} \right).\)

Vậy phương trình đường tròn (C”) là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}36.\)