Bài 3 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam thức bậc hai với đồ thị là parabol có đỉnh I(1, 4) và đi qua điểm A(2; 3)

a) Xác định các hệ số a, b, c của tam thức bậc hai f(x).

b) Vẽ parabol này.

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b), hãy cho biết khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và tập giá trị của hàm số y =f(x).

d) Lập bảng xét dấu để giải bất phương trình \(\frac{{f(x)}}{{x - 2}} \ge 0\)

Lời giải chi tiết

a)  Parabol có đỉnh là I(1;4) nên phương trình có dạng \(y = a{(x - 1)^2} + 4\)

 Vì điểm A(2;3) thuộc parabol nên ta có:

\(3 = a{(2 - 1)^2} + 4 \Rightarrow a =  - 1\)

Vậy tam thức cần tìm là \(f(x) =  - {x^2} + 2x + 3\) ta có a= -1, b=2, c=3.

b) Ta có a= -1

   Đỉnh I(1;4), trục đối xứng x=1.

   Giao điểm của parabol với trục Oy là (0,3), với trục Ox là (-1,0) và (3,0)

c) Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) , nghịch biến trên khoảng (1,+∞)

Tập giá trị của hàm số là (-∞;4]

d) Xét bất phương trình \(\frac{{f(x)}}{{x - 2}} \ge 0\) hay  \(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}} \ge 0\)

\(f(x) =  - {x^2} + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 3\)

\(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Ta có bảng xét dấu sau:

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(( - \infty ; - 1] \cup (2;3]\)