1. Nội dung câu hỏi
Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho \(HA = 2HB\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng \({60^0}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
2. Phương pháp giải
- Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính:
+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a với (P) bằng \({90^0}\).
+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).
- Sử dụng kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó, kí hiệu d(a, b).
3. Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí côsin vào tam giác AHC có:
\(C{H^2} \) \( = A{C^2} + A{H^2} - 2AC.AH.\cos \widehat {CAH}\)
\( \Rightarrow C{H^2} \) \( = {a^2} + {\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)^2} - 2a.\frac{{2a}}{3}.\cos {60^0} \) \( = \frac{{7{a^2}}}{9} \Rightarrow CH \) \( = \frac{{a\sqrt 7 }}{3}\)
Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABC)
Do đó, \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) \) \( = \left( {SC,HC} \right) \) \( = \widehat {SCH} \) \( = {60^0}\)
Trong tam giác SCH vuông tại H có: \(SH \) \( = CH.\tan {60^0} \) \( = \frac{{a\sqrt 7 }}{3}.\sqrt 3 \) \( = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}\)
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, I là hình chiếu của H trên đường thẳng đó.
Khi đó, BC//AI. Suy ra: \(d\left( {BC,SA} \right) \) \( = d\left( {BC,\left( {SAI} \right)} \right) \) \( = d\left( {B,\left( {SAI} \right)} \right) \) \( = \frac{3}{2}d\left( {H;\left( {SAI} \right)} \right)\)
Gọi K là hình chiếu của H trên SI.
Vì \(SH \bot AI,AI \bot HI \Rightarrow AI \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AI \bot KH\)
Mà \(HK \bot SI \Rightarrow HK \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAI} \right)} \right) \) \( = HK\)
Ta có: \(\widehat {HAI} \) \( = {180^0} - \left( {{{60}^0} + {{60}^0}} \right) \) \( = {60^0}\)
Tam giác AHI vuông tại I nên \(HI \) \( = HA.\sin {60^0} \) \( = \frac{{2a}}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \) \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Tam giác SIH vuông tại H có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} \) \( = \frac{1}{{H{S^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} \) \( = \frac{9}{{21{a^2}}} + \frac{9}{{3{a^2}}} \) \( = \frac{{24}}{{7{a^2}}} \Rightarrow HK \) \( = \frac{{a\sqrt {42} }}{{12}}\)
Do đó: \(d\left( {BC,SA} \right) \) \( = \frac{{a\sqrt {42} }}{8}\).
Chương IV. Dòng điện không đổi
Unit 3: Global warming
Chủ đề: Sử dụng các yếu tố tự nhiên, dinh dưỡng để rèn luyện sức khỏe và phát triển thể chất
Chuyên đề 3: Danh nhân trong lịch sử Việt Nam
Chuyên đề 3. Mở đầu về điện tử học
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11