Bài 31 trang 92 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình thang $ABCD(AB//CD)$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

a) Chứng minh rằng  $OA.OD=OB.OC$.

b) Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AB$ và $CD$ theo thứ tự tại $H$ và $K$.

Chứng minh rằng ${\displaystyle \frac{OH}{OK}}={\displaystyle \frac{AB}{CD}}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng

- Định lí: Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

- Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đô đồng dạng

- Tính chất hai tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác $OAB$ và $OCD$:

$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{ABO}=\widehat{ODC}$ (hai góc so le trong vì $AB//CD$).

Suy ra $\mathrm{\Delta }OAB\backsim \mathrm{\Delta }OCD$ (trường hợp g.g)

Do đó ${\displaystyle \frac{AB}{CD}}={\displaystyle \frac{OA}{OC}}={\displaystyle \frac{OB}{OD}}$ $\Rightarrow OA.OD=OB.OC$ (đpcm).

b) Xét hai tam giác vuông $OHB$ và $OKD$:

$\widehat{OHB}=\widehat{OKD}$ (cùng bằng ${90}^0$)

$\widehat{OBH}=\widehat{ODK}$ (hai góc so le trong).

Suy ra $\mathrm{\Delta }OHB\backsim \mathrm{\Delta }OKD$

Do đó ${\displaystyle \frac{OH}{OK}}={\displaystyle \frac{OB}{OD}}$ (1)

Theo kết quả trên: ${\displaystyle \frac{OB}{OD}}={\displaystyle \frac{AB}{CD}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${\displaystyle \frac{OH}{OK}}={\displaystyle \frac{AB}{CD}}$ (đpcm).