Bài 3.3 phần bài tập bổ sung trang 84 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Hình thang cân \(ABCD\) \((AB // CD)\) có \(\widehat C=60^0,\) \(DB\) là tia phân giác của góc \(D.\) Tính các cạnh của hình thang, biết chu vi hình thang bằng \(20cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

+) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

+) Tam giác có hai góc \(60^0\) thì tam giác đó là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

Hình thang \(ABCD\) cân có \(AB // CD\)

\( \Rightarrow \widehat D = \widehat C = {60^0}\)

\(DB\) là tia phân giác của góc \(D\)

\( \Rightarrow \widehat {D_1} = \widehat {D_2}=\dfrac{1}{2}\widehat D=30^0\)

Mà \(AB//CD\) nên \(\widehat {B_1} = \widehat {D_2}\) (hai góc so le trong)

Suy ra: \(\widehat {D_1} = \widehat {B_1}\)  

\(⇒ ∆ ABD\) cân tại \(A\)  \(⇒ AB = AD\;\;\; (1)\)

Từ \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(CD\) tại \(E\)

Hình thang \(ABED\) (do \(AB//DE)\) có hai cạnh bên song song nên \(AB = ED,\) \(AD= BE\)   \((2)\)

Lại có \(AB//CD\) nên \(\widehat {BEC} = \widehat {ADC}=60^0\) (hai góc đồng vị )

Suy ra:  \(\widehat {BEC} = \widehat C = {60^0}\)

\(⇒∆ BEC\) đều \(⇒ EC = BC    \;\;\;(3)\)

Vì ABCD là hình thang cân nên \(AD = BC\) (tính chất) \((4)\)

Từ \((1),\) \((2),\) \((3)\) và \((4)\) \(⇒ AB = BC = AD = ED = EC\)

 Chu vi hình thang \(ABCD\) bằng:

\(AB + BC + CD + AD \)\(= AB + BC + EC +ED +AD\)\( = 5AB\)

\(⇒AB = BC = AD = 20:5 = 4\;(cm)\)

\(CD = CE + DE = 2 AB \)\(= 2.4 = 8 \;\;(cm)\)