Bài 33 trang 108 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn đường kính \(AB\) cố định, \(M\) là điểm chạy trên đường tròn (\(M\) khác cả \(A\) và \(B\)). Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(I\) sao cho \(MI = 2 . MB\).

a) Chứng minh \(\widehat {AIB}\) không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm \(I\) nói trên. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn

b) Chứng minh theo hai phần: Phần thuận và phần đảo.

Lập luận để có quỹ tích là cung chứa góc \(AIB\) dựng trên đoạn \(BC\).

Chú ý đến giới hạn của quỹ tích.

Lời giải chi tiết

Nối \(IB\) 

a) Góc \(AMB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(AB\) nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta BMI\) là tam giác vuông.

Do đó, ta có : 

                       \(\tan \widehat {MIB} = \dfrac{{MB}}{{MI}}= \dfrac{{MB}}{{2MB}} = \dfrac{1}{2}\) 

Vậy \(\widehat {AIB} = \alpha \) không đổi. Bằng cách tra bảng số hoặc dùng máy tính bỏ túi, ta thấy  \(\alpha  \approx 26^\circ 34'.\)

b) Phần thuận:

Khi điểm \(M\) thay đổi trên đường tròn đường kính \(AB\) thì điểm \(I\) thay đổi và luôn nhìn cạnh \(AB\) dưới một góc \(\widehat {MIB}\) không đổi. Vậy điểm \(I\) thuộc hai cung chứa góc \(\alpha \) sao cho \(\tan \alpha  = \dfrac{1}{2}\) dựng trên đoạn \(AB\).

Nhưng tiếp tuyến \(PQ\) với đường tròn đường kính \(AB\) tại \(A\) là vị trí giới hạn của \(AM\). Do đó,  điểm \(I\) thuộc hai cung \(PmB\) và \(Qm'B\).

Hai điểm \(P, Q\) là các điểm giới hạn của quỹ tích, điểm \(B\) là điểm đặc biệt của quỹ tích

Phần đảo:

Lấy điểm \(I'\) bất kỳ thuộc \(\overparen{Qm'B}\) (hoặc cung \(PmB\)) 

Nối \(AI'\) cắt đường tròn đường kính \(AB\)  tại \(M'.\) Ta chứng minh \(M'I' = 2M'B.\)

Xét \(\Delta BM'I'\) vuông ở \(M'\)\( \Rightarrow \tan \widehat {BI'M'} = \dfrac{{BM'}}{{M'I'}}\) \( = \tan \alpha  = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow M'I' = 2BM'.\)

Kết luận: Quỹ tích các điểm \(I\) là  cung \(PmB\) và cung \(Qm'B\).