Câu hỏi 3.3 - Mục Bài tập trang 32

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:

a) Bé hơn chu vi của tứ giác;

b) Lớn hơn tổng hai cạnh đối tùy ý của tứ giác, từ đó lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

3. Lời giải chi tiết

Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là \({P_{ABCD}}\; = AB + BC + CD + DA\).

a) Trong \(\Delta ABC\) có \(AC < AB + BC\) (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong \(\Delta ACD\) có \(AC < CD + DA\) (bất đẳng thức trong tam giác)

Do đó \(AC + AC < AB + BC + \;CD + DA\) hay \(2AC < {P_{ABCD}}\;\) (1)

Tương tự, trong \(\Delta ABD\) có \(BD < AD + AB\)

Trong \(\Delta BCD\) có: \(BD < CD + BC\)

Do đó  \(BD + BD < AD + AB + CD + BC\) hay \(2BD < {P_{ABCD}}\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(2\left( {AC + BD} \right) < 2{P_{ABCD}}\), do đó \(AC + BD < {P_{ABCD}}\).

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong \(\Delta OAB\) có \(OA + OB > AB\) (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong \(\Delta OCD\) có \(OC + OD > CD\) (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên \(AC + BD = OA + OC + OB + OD > AB + CD\).

Trong \(\Delta OAD\) có \(OA + OD > AD\) (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong \(\Delta OBC\) có \(OB + OC > BC\) (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên \(AC + BD = OA + OC + OB + OD > AD + BC\).

Vậy \(2\left( {AC + BD} \right) > AB + BC + CD + DA = {P_{ABCD}}\)

Tức là \(AC + BD\; > \frac{1}{2}{P_{ABCD}}\) (đpcm).