Bài 3.37 trang 131 SBT hình học 12

Đề bài

Cho đường thẳng   \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{3} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng  \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = (2;3;2)\)  và \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2; - 2;1)\)

\(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 4 - 6 + 2 = 0\)         (1)

Xét  điểm  M₀(-3; -1; -1)  thuộc \(\Delta \), ta thấy tọa độ M₀ không thỏa mãn phương trình của \((\alpha )\). Vậy  \({M_0} \notin (\alpha )\)        (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra \(\Delta //(\alpha )\)  \(\)

b)  \(d(\Delta ,(\alpha )) = d({M_0},(\alpha ))\)\( = \dfrac{{|2.( - 3) - 2.( - 1) + ( - 1) + 3|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \dfrac{2}{3}\)

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((\alpha )\) là \(\dfrac{2}{3}\).