Bài 3.42 trang 132 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng: $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{-1}=\frac{\mathrm{y}-2}{2}=\frac{z}{3}$ và $d^{\text{'}}:\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+{\mathrm{t}}^{\text{'}}\\ \mathrm{y}=3-2{\mathrm{t}}^{\text{'}}\\ \mathrm{z}=1\end{array}$

Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d′.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tham số hóa tọa độ hai điểm M,M′ lần lượt thuộc hai đường thẳng d,d′.

- Sử dụng điều kiện$\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}$ là đường vuông góc chung của d,d' thì $\{\begin{array}{c}\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}.\overrightarrow{{\mathrm{u}}_d}=0\\ \overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}.\overrightarrow{{\mathrm{u}}_{{\mathrm{d}}^{\text{'}}}}=0\end{array}$.

- Tìm tọa độ của M,M′ và viết phương trình đường thẳng MM′.

Lời giải chi tiết

Phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{d}:\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=3\mathrm{t}\end{array}$

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d′ lần lượt là $\overrightarrow{a}=(-1;2;3),\overrightarrow{{\mathrm{a}}^{\text{'}}}=(1;-2;0)$.

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có  $\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=({\mathrm{t}}^{\text{'}}+\mathrm{t};1-2{\mathrm{t}}^{\text{'}}-2\mathrm{t};1-3\mathrm{t})$.

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

$\iff \{\begin{array}{c}\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}.\overrightarrow{a}=0\\ \overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}.\overrightarrow{{\mathrm{a}}^{\text{'}}}=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}-{\mathrm{t}}^{\text{'}}-\mathrm{t}+2-4{\mathrm{t}}^{\text{'}}-4\mathrm{t}+3-9\mathrm{t}=0\\ {\mathrm{t}}^{\text{'}}+\mathrm{t}-2+4{\mathrm{t}}^{\text{'}}+4\mathrm{t}=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}5{\mathrm{t}}^{\text{'}}+14\mathrm{t}=5\\ 5{\mathrm{t}}^{\text{'}}+5\mathrm{t}=2\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}t=\frac{1}{3}\\ t^{\text{'}}=\frac{1}{15}\end{array}$

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là $M\left(\frac{2}{3};\frac{8}{3};1\right),{\mathrm{M}}^{\text{'}}\left(\frac{16}{15};\frac{43}{15};1\right)$

Do đó $\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\left(\frac{6}{15};\frac{3}{15};0\right)$

Suy ra đường vuông góc chung Δ của d và d’ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(2;1;0)$

Vậy phương trình tham số của Δ là: $\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{2}{3}+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\frac{8}{3}+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1\end{array}$