Bài 35 trang 137 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc ngoài tại \(A\). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(BC\), \(B\in (O),C\in (O').\) Tiếp tuyến chung trong tại \(A\) cắt tiếp tuyến chung ngoài \(BC\) ở \(I\).

a) Chứng minh rằng \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\).

b) Tính số đo góc \(OIO'\). 

c) Tính độ dài \(BC\), biết \(OA=9cm,\ O'A=4cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau và định lí “ Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông”.

b) Áp dụng kiến thức về tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù.

Lời giải chi tiết

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(IB=IA,IC=IA,\)

suy ra \(IB = IC = IA.\)

Tam giác \(BAC\) có đường trung tuyến \(AI\) bằng nửa cạnh \(BC\) nên \(\widehat{BAC}={{90}^{o}}.\)

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có :

IO là tia phân giác của \(\widehat {BIA},\)

\(IO'\) là tia phân giác của \(\widehat {AIC}\)

Hai góc đó kề bù nên \(IO\bot IO'.\) Vậy \(\widehat {OIO'} = {90^o}.\)

c) Tam giác \(OIO'\) vuông tại \(I\) (theo câu b), \(IA\) là đường cao (vì \(AI\) là tiếp tuyến của 2 đường tròn).

Tam giác \(OIO'\) vuông tại \(I,\) đường cao \(AI\) nên

\(I{{A}^{2}}=O'A.OA=4.9=36,\) suy ra \(IA = 6\left( {cm} \right).\)

Do đó \(BC = 2IA = 2.6 = 12\left( {cm} \right).\)