Bài 36 trang 106 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho nửa đường tròn đường kính \(AB\) cố định. \(C\) là điểm trên nửa đường tròn, trên dây \(AC\) kéo dài lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = CB.\)

\(a)\) Tìm quỹ tích các điểm \(D\) khi \(C\) chạy trên nửa đường tròn đã cho.

\(b)\) Trên tia \(CA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(CE = CB.\) Tìm quỹ tích các điểm \(E\) khi \(C\) chạy trên nửa đường tròn đã cho.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm \(M\) thỏa mãn tính chất \(\tau\) là một hình \({\rm H}\) nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất \(\tau\) đều thuộc hình \(\rm H.\)

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình \(\rm H\) đều có tính chất \(\tau.\)

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm \(M\) có tính chất \(\tau\) là hình \(\rm H.\)

(Thông thường với bài toán "Tìm quỹ tích..." ta nên dự đoán hình \(\rm H\) trước khi chứng minh: Tập hợp các điểm \(M\) tạo với hai mút của đoạn thẳng \(AB\) cho trước một góc \(AMB\) bằng \(\alpha\) \((\alpha\) không đổi \()\) là hai cung tròn đối xứng với nhau qua \(AB\) (gọi là cung chứa góc \(\alpha\) vẽ trên đoạn \(AB\))).

Lời giải chi tiết

\(a)\) Chứng minh thuận:

Ta có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra: \(\widehat {BCD} = 90^\circ \)

             \(CD = CB (gt)\)

Suy ra: \(∆BCD\) vuông cân tại \(C.\)

 \( \Rightarrow \widehat {CDB} = 45^\circ \) hay \(\widehat {ADB} = 45^\circ \)

\(AB\) cố định. Khi \(C\) chuyển động trên nửa đường tròn đường kính \(AB\) thì \(D\) chuyển động trên cung chứa góc \(45^\circ \) dựng trên đoạn thẳng \(AB\) cố định.

Ta có dây \(AC\) thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm \(C\) trên nửa đường tròn đường kính \(AB.\)

− Dây \(AC\) lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi \(C\) trùng với \(B\) khi đó \(D\) trùng với \(B.\) Vậy \(B\) là điểm của quỹ tích.

− Dây \(AC\) nhỏ nhất có độ dài bằng \(0\) khi \(C\) trùng với \(A,\) thì khi đó \(D\) trùng với \(B’\) là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính \(AB\) tại \(A\) với cung chứa góc \(45^\circ\) vẽ trên \(AB.\)

Chứng minh đảo:

Lấy điểm \(D’\) tùy ý trên cung \(BB’,\) nối \(AD’\) cắt đường tròn đường kính \(AB\) tại \(C’.\) Nối \(BC’, BD’.\)

Ta có: \(\widehat {AD'B} = 45^\circ \) (vì \(D’\) nằm trên cung chứa góc \(45^\circ\) vẽ trên \(AB\)).

Trong đường tròn đường kính \(AB\) ta có:

\(\widehat {AC'B} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat {BC'D'} = 90^\circ \)

Suy ra: \(∆BC’D’\) vuông cân tại \(C’\)

\( \Rightarrow  C’B = C’D’\)

Vậy quỹ tích các điểm \(D\) khi \(C\) chuyển động trên nửa đường tròn đường kính \(AB\) là cung \(\overparen{BB'}\) nằm trên cung chứa góc \(45^\circ\) vẽ trên đoạn \(AB,\) trong nửa mặt phẳng bờ \(AB\) có chứa điểm \(C.\)

\(b)\) Chứng minh thuận:

Trong đường tròn đường kính \(AB\) ta có:

\(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(CB = CE (gt)\)

\( \Rightarrow  ∆CBE\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow \widehat {CEB} = 45^\circ \)

\(\widehat {CEB} + \widehat {AEB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {AEB} = 135^\circ \)

\(AB\) cố định, \(C\) chuyển động trên đường tròn đường kính \(AB\) thì \(E\) chuyển động trên cung chứa góc \(135^\circ\) dựng trên đoạn \(AB\) cố định.

− Khi dây \(AC\) có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn, thì \(C\) trùng với \(B\) nên \(E\) trùng với \(B\) \( \Rightarrow \) \(B\) là \(1\) điểm của quỹ tích.

− Khi dây \(AC\) có độ dài nhỏ nhất bằng \(0\) thì \(C\) trùng với \(A.\) Khi đó \(E\) trùng \(A\) nên \(A\) là \(1\) điểm của quỹ tích.

Vậy \(E\) chuyển động trên \(1\) cung chứa góc \(135^\circ\) vẽ trên đoạn \(AB\) nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa điểm \(C.\)

Chứng minh đảo:

Lấy \(E’\) bất kỳ trên cung chứa góc \(135^\circ .\) Kẻ \(AE’\) cắt đường tròn đường kính \(AB\) tại \(C’.\)  Nối \(BE’, BC’.\)

Ta có: \(\widehat {AE'B} = 135^\circ \) (vì \(E’\) nằm trên cung chứa góc \(135^\circ\) vẽ trên \(AB\))

Lại có: \(\widehat {AE'B} + \widehat {BE'C} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {BE'C'} = 180^\circ  - \widehat {AE'B} \)\(= 180^\circ  - 135^\circ  = 45^\circ \)

Trong đường tròn đường kính \(AB\) ta có:

\(\widehat {AC'B} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra: \(∆E’C’B\) vuông cân tại \(C’.\)

\( \Rightarrow  C'E' = C'B\)

Vậy quỹ tích các điểm \(E\) khi \(C\) chuyển động trên đường tròn đường kính \(AB\) là một cung chứa góc \(135^\circ\) vẽ trên đoạn \(AB\) nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa điểm \(C.\)