Bài 3.65 trang 134 SBT hình học 12

Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

Phương pháp giải:

Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Giải chi tiết:

(S) có tâm \(I\left( { - \dfrac{3}{2}; - 2;\dfrac{5}{2}} \right)\) và có bán kính \(r = \sqrt {\dfrac{9}{4} + 4 + \dfrac{{25}}{4} - 6}  = \dfrac{{\sqrt {26} }}{2}\)

Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta kí hiệu là (C). Xác định bán kính r’ và tâm H của đường tròn (C).

Phương pháp giải:

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

Vị trí tương đối của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\):

+) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) < R\) thì \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\).

+) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\) thì \(\left( P \right)\) tiếp xúc \(\left( S \right)\).

+) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) > R\) thì \(\left( P \right)\) không cắt \(\left( S \right)\).

Sử dụng công thức \({R^2} = {d^2} + {r^2}\) với \(R\) là bán kính mặt cầu, \(r\) là bán kính đường tròn, \(d\) là khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\).

Giải chi tiết:

\(d(I,(P)) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) - 3.\left( { - 2} \right) + 4.\dfrac{5}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 9 + 16} }}\)\( = \dfrac{8}{{\sqrt {29} }} < \dfrac{{\sqrt {26} }}{2}\)

Vậy \(d(I, (P)) < r\)

Suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính r’.

H chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng (P).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Ta có vecto chỉ phương của \(\Delta \) là

\(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (2; - 3;4)\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \dfrac{3}{2} + 2t}\\{y =  - 2 - 3t}\\{z = \dfrac{5}{2} + 4t}\end{array}} \right.\)

\(\Delta \) cắt (P) tại \(H\left( { - \dfrac{3}{2} + 2t; - 2 - 3t;\dfrac{5}{2} + 4t} \right)\). Ta có:

\(H \in (\alpha )\)\( \Leftrightarrow 2\left( { - \dfrac{3}{2} + 2t} \right) - 3( - 2 - 3t)\) \( + 4\left( {\dfrac{5}{2} + 4t} \right) - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 29t + 8 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{8}{{29}}\)

Suy ra tọa độ \(H\left( { - \dfrac{3}{2} - \dfrac{{16}}{{29}}; - 2 + \dfrac{{24}}{{29}};\dfrac{5}{2} - \dfrac{{32}}{{29}}} \right)\) hay \(H\left( {\dfrac{{119}}{{58}};\dfrac{{ - 34}}{{29}};\dfrac{{81}}{{58}}} \right)\)

Ta có  \(r{'^2} = {r^2} - {d^2}\left( {I,(P)} \right)\)\( = \dfrac{{26}}{4} - \dfrac{{64}}{{29}} = \dfrac{{249}}{{58}}\).

Suy ra \(r' = \sqrt {\dfrac{{249}}{{58}}} \).