Bài 38 trang 141 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự ở C và D (khác A).

a) Chứng minh rằng AC = AD

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng định lí về đường kính vuông góc với dây và định lí về đường trung bình của hình thang, chứng minh \(AM = AN.\)

b) Áp dụng tính chất hai đường tròn cắt nhau và tính chất đường trung bình trong tam giác để chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(OM \bot CD,O'N \bot CD,\) ta có \(IA//OM//O'N\) (vì cùng vuông góc với \(CD\)).

Hình thang \(OMNO'\) có \(OI = O'I\) và \(IA//OM//O'N\) nên \(AM = AN\) (đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên của hình thang và song song với hai cạnh đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại).

Theo định lí về đường kính vuông góc với dây, ta có :

\(OM \bot AC\) nên \(AM = MC = \dfrac{1}{2}AC,\)

\(O'N \bot AD\) nên \(AN = ND = \dfrac{1}{2}AD,\)

Do \(AM = AN\) nên \(AC = AD.\)

b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(OO'.\) Theo tính chất của hai đường tròn cắt nhau, ta có \(AH = HB\) và \(OO' \bot AB.\)

Tam giác \(AKB\) có \(AI = IK\) (vì \(K\) đối xứng với điểm \(A\) qua điểm \(I\)),

                              \(AH = HB\)  (chứng minh trên)

Nên \(IH\) là đường trung bình, suy ra \(IH//KB,\) tức là \(OO'//KB.\)

Ta có \(KB//OO'\) và \(OO' \bot AB\) nên \(KB \bot AB.\)