Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), đường thẳng \(SA\). vuông góc vói mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 2 \).

a) Chứng minh rằng \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Tính theo \(a\) khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

2. Phương pháp giải

a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Tìm hình chiếu vuông góc của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\),

Suy ra góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AC\).

Chứng minh tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(\widehat {SCA}\)

c) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(SB\) tại \(H\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Suy ra khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(AH\).

Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), tính đường cao \(AH\).

3. Lời giải chi tiết

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên đường thẳng \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), do đó góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giứa hai đường thẳng \(SC\) và \(AC\).

Ta có: \(SA \bot AC\) và \(SA = AC = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\), suy ra góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AC\) bằng \({45^ \circ }\).

Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^ \circ }\).

c) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(SB\) tại \(H\), vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AH\), suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(AH\).

Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\), khi đó:

\(AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{SB}} = \frac{{a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024