Bài 39 trang 93 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB,\) \(F\) là trung điểm của \(CD\) (h26). Chứng minh hai tam giác \(ADE\) và \(CBF\) đồng dạng với nhau. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng: 

- Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD;\) \(AB = CD\) (1)

\(\displaystyle AE = EB = {1 \over 2}AB\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AB\))     (2)

\(\displaystyle DF = FC = {1 \over 2}CD\) (vì \(F\) là trung điểm của \(CD\)     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(EB = DF \) và \(BE // DF\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BEDF\) là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

\( \Rightarrow DE // BF\) (tính chất hình bình hành)

Vì \(DE // BF\) nên \(\widehat {AED} = \widehat {ABF}\) (cặp góc đồng vị).

Vì \(AB//CD\) nên \(\widehat {ABF} = \widehat {BFC}\) (cặp góc so le trong).

\( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {BFC}\)

Xét \(∆ AED\) và \(∆ CFB\) có:

\(\widehat {AED} = \widehat {BFC}\) (chứng minh trên)

\(\widehat A = \widehat C\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)

\( \Rightarrow ∆ AED\) đồng dạng \(∆ CFB\) (g.g)