Bài 4 trang 36 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Nội dung câu hỏi

Hãy xác định phép vị tự biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’) (R ≠ R’) trong các trường hợp sau:

a) Hai đường tròn cắt nhau.

b) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

c) Hai đường tròn tiếp xúc trong.

d) Hai đường tròn đựng nhau.

e) Hai đường tròn ở ngoài nhau.

3. Lời giải chi tiết

a) Lấy điểm M bất kì thuộc (O; R).

Đường thẳng qua O’ và song song với OM cắt đường tròn (O’; R’) tại hai điểm M’ và M’’ (giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và M, M’’ nằm khác phía đối với đường thẳng OO’).

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng MM’’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I’ nằm trong đoạn OO’.

Ta có \({V_{(I,{\rm{ }}k)}}\;\) biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Suy ra \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.R.\)

Do đó \(|k| = \frac{{R'}}{R}\)

Mà \(k{\rm{ }} > {\rm{ }}0\)  (do O, O’ nằm cùng phía đối với I).

Suy ra \(k = \frac{{R'}}{R}\)

Ta có  biến đường tròn (O; R) thành đường tròn \(\left( {O';{\rm{ }}R'} \right).\)

Chứng minh tương tự, ta được khi O, O’ nằm khác phía đối với I’, ta có \(k' =  - \frac{{R'}}{R}\)

Vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là \({V_{\left( {I,\frac{{R'}}{R}} \right)}}\) và \({V_{\left( {I', - \frac{{R'}}{R}} \right)}}\)

b) Lấy điểm M bất kì thuộc \(\left( {O;{\rm{ }}R} \right).\)

Đường thẳng qua O’ và song song với OM cắt đường tròn (O’; R’) tại hai điểm M’ và M’’ (giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và M, M’’ nằm khác phía đối với đường thẳng OO’).

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng MM’’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I’ nằm trong đoạn OO’ và I’ là tiếp điểm của hai đường tròn.

Ta có \({V_{\left( {I,{\rm{ }}k} \right)}}\;\)biến đường tròn (O; R) thành đường tròn \(\left( {O';{\rm{ }}R'} \right).\)

Suy ra \(\;R'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.R.\)

Do đó \(|k| = \frac{{R'}}{R}\)

Mà \(k{\rm{ }} > {\rm{ }}0\) (do O, O’ nằm cùng phía đối với I).

Suy ra \(k = \frac{{R'}}{R}\)

Ta có  biến đường tròn (O; R) thành đường tròn \(\left( {O';{\rm{ }}R'} \right).\)

Chứng minh tương tự, ta được khi O, O’ nằm khác phía đối với I’, ta có \(k' =  - \frac{{R'}}{R}\)

Vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là \({{\rm{V}}_{\left( {I,\frac{{R'}}{R}} \right)}}\)  và \({V_{\left( {I', - \frac{{R'}}{R}} \right)}}\)

c) Lấy điểm M bất kì thuộc \(\left( {O;{\rm{ }}R} \right).\)

Đường thẳng qua O’ và song song với OM cắt đường tròn (O’; R’) tại hai điểm M’ và M’’ (giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và M, M’’ nằm khác phía đối với đường thẳng OO’).

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng MM’’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I’ nằm trong đoạn OO’.

Ta có \(\;{V_{(I,{\rm{ }}k)}}\) biến đường tròn (O; R) thành đường tròn \(\left( {O';{\rm{ }}R'} \right).\)

Suy ra \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.R.\)

Do đó \(|k| = \frac{{R'}}{R}\)

Mà \(\;k{\rm{ }} > {\rm{ }}0\) (do O, O’ nằm cùng phía đối với I).

Suy ra \(k = \frac{{R'}}{R}\)

Ta có V_{(I’, k’)} biến đường tròn \(\left( {O;{\rm{ }}R} \right)\) thành đường tròn \(\left( {O';{\rm{ }}R'} \right).\)

Chứng minh tương tự, ta được khi O, O’ nằm khác phía đối với I’, ta có \(k' =  - \frac{{R'}}{R}\)

Vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là \({V_{\left( {I,\frac{{R'}}{R}} \right)}}\)  và \({V_{\left( {I', - \frac{{R'}}{R}} \right)}}\)

d) Ta xét trường hợp (O; R) đựng (O’; R’), trường hợp còn lại tương tự.

⦁ Trường hợp 1: \(\;O{\rm{ }} \ne {\rm{ }}O'.\)

Lấy điểm M bất kì thuộc (O; R).

Đường thẳng qua O’ và song song với OM cắt đường tròn (O’; R’) tại hai điểm M’ và M’’ (giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và M, M’’ nằm khác phía đối với đường thẳng OO’).

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng MM’’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I’ nằm trong đoạn OO’.

Ta có \({V_{(I,{\rm{ }}k)}}\;\) biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Suy ra \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.R.\)

Do đó  \(|k| = \frac{{R'}}{R}\)

Mà \(k{\rm{ }} > {\rm{ }}0\)  (do O, O’ nằm cùng phía đối với I).

Suy ra \(k = \frac{{R'}}{R}\).

Ta có  biến đường tròn (O; R) thành đường tròn \(\left( {O';{\rm{ }}R'} \right).\)

Chứng minh tương tự, ta được khi O, O’ nằm khác phía đối với I’, ta có \(k' =  - \frac{{R'}}{R}\)

Vì vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn trường hợp 1 là \({V_{\left( {I,\frac{{R'}}{R}} \right)}}\)  và \({V_{\left( {I', - \frac{{R'}}{R}} \right)}}\)

⦁ Trường hợp 2: \(O \equiv O'.\)

Vì \(O \equiv O'\) nên \({V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\;\) biến đường tròn (O; R) thành đường tròn \(\left( {O;{\rm{ }}R'} \right).\)

Suy ra \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.R.\)

Do đó \(|k| = \frac{{R'}}{R}\)

Vì vậy \(k = \frac{{R'}}{R}\) hoặc \(k =  - \frac{{R'}}{R}\)

Khi đó ta có hai phép vị tự thỏa mãn trường hợp 2 là \({V_{\left( {O,\frac{{R'}}{R}} \right)}}\)  và \({V_{\left( {O, - \frac{{R'}}{R}} \right)}}\)

Vậy có 4 phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

– Nếu \(O{\rm{ }} \ne {\rm{ }}O'\;\) thì ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là \({{\rm{V}}_{\left( {I,\frac{{R'}}{R}} \right)}}\) và \({V_{\left( {I', - \frac{{R'}}{R}} \right)}}\)

– Nếu O ≡ O’ thì ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là \({V_{\left( {O,\frac{{R'}}{R}} \right)}}\)  và \({V_{\left( {O, - \frac{{R'}}{R}} \right)}}\)

e) Lấy điểm M bất kì thuộc (O; R).

Đường thẳng qua O’ và song song với OM cắt đường tròn (O’; R’) tại hai điểm M’ và M’’ (giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và M, M’’ nằm khác phía đối với đường thẳng OO’).

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng MM’’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I’ nằm trong đoạn OO’.

Ta có \({V_{\left( {I,{\rm{ }}k} \right)}}\;\) biến đường tròn (O; R) thành đường tròn \(\left( {O';{\rm{ }}R'} \right).\)

Suy ra \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.R.\)

Do đó \(|k| = \frac{{R'}}{R}\)

Mà \(k{\rm{ }} > {\rm{ }}0\) (do O, O’ nằm cùng phía đối với I).

Suy ra \(k = \frac{{R'}}{R}\)

Ta có \({V_{\left( {I',{\rm{ }}k'} \right)}}\;\) biến đường tròn (O; R) thành đường tròn \(\left( {O';{\rm{ }}R'} \right).\)

Chứng minh tương tự, ta được khi O, O’ nằm khác phía đối với I’, ta có \(k' =  - \frac{{R'}}{R}\)

Vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là \({V_{\left( {I,\frac{{R'}}{R}} \right)}}\)  và \({V_{\left( {I', - \frac{{R'}}{R}} \right)}}\)