1. Nội dung câu hỏi
Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(\sqrt {11} \). Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI.
2. Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
3. Lời giải chi tiết
Gọi O là tâm của tam giác đều BCD. Khi đó, \(AO \bot \left( {BCD} \right)\)
Qua C kẻ đường thẳng song song với BI cắt BD tại F. Khi đó, CF//BI nên BI//(ACF)
Suy ra: \(d\left( {AC,BI} \right) = d\left( {BI,\left( {ACF} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {ACF} \right)} \right)\)
Ta có: \(BI \bot CD,CF//BI \) \( \Rightarrow CF \bot CD\)
Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt CF tại E. Ta có: \(OE//CD \) \( \Rightarrow OE\; \bot CF\)
Vì \(OE\; \bot CF,CF \bot AO\left( {do\;AO \bot \left( {BCD} \right)} \right) \) \( \Rightarrow CF \bot \left( {AOE} \right)\)
Trong (AOE), kẻ \(OH \bot AE\left( {H \in AC} \right) \) \( \Rightarrow OH \bot \left( {ACF} \right) \) \( \Rightarrow d\left( {O,\left( {ACF} \right)} \right) = OH\)
Chứng minh được tứ giác OICE là hình chữ nhật. Suy ra \(OE = CI = \frac{{CD}}{2} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\)
Tam giác BCD đều, BI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác nên \(BI = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt {33} }}{2} \) \( \Rightarrow BO = \frac{2}{3}BI = \frac{{\sqrt {33} }}{3}\)
Vì \(AO \bot \left( {BCD} \right) \) \( \Rightarrow AO \bot BO,AO \bot OE\).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại O có: \(AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \frac{{\sqrt {66} }}{3}\)
Tam giác AOE vuông tại O, đường cao OH có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{9}{{66}} + \frac{4}{{11}} = \frac{1}{2}\)
Do đó, \(OH = \sqrt 2 \).
Tải 10 đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hóa học 11
Chủ đề 6: Hợp chất carbonyl - Carboxylic acid
Chủ đề 8: Một số quyền dân chủ cơ bản của công dân
B - ĐỊA LÍ KHU VỰC VÀ QUỐC GIA
Chương 4: Hydrocarbon
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11