Giải Bài 40 trang 81 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Đề bài

Cho Hình 32 có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \), AH vuông góc với BC tại H, \(\widehat {xAB} = \widehat {BAH}\) , Ay là tia đối của tia Ax. BD và CE vuông góc với xy lần lượt tại D và E. Chứng minh:

a) AC là tia phân giác của góc Hay;

b) BD + CE = BC;

c) DH vuông góc với HE.

 

 

 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh \(\widehat {CAH} = \widehat {CAy}\) suy ra AC là tía phân giác của \(\widehat {HAy}\).

- Chứng minh: ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra BD = BA

Tương tự chứng minh: CH = CE

Từ đó: BC = BH + CH

Mà BD = BH, CE = CH.

Do đó BC = BD + CE.

- Gọi I là giao điểm của AB và DH

Chứng minh ∆ADI = ∆AHI (c.g.c) suy ra \(\widehat {ADI} = \widehat {AHI}\)

Tương tự chứng minh: \(\widehat {AHE} = \widehat {AEH}\)

Tính số đo góc HDE bằng \({90^o}\) nên DH vuông góc với HE

 

 

Lời giải chi tiết

a) •Ta có \(\widehat {xAy} = \widehat {xAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAy}\)

Hay \(180^\circ  = \widehat {xAB} + 90^\circ  + \widehat {CAy}\)

Suy ra \(\widehat {CAy} = 90^\circ  - \widehat {xAB}\)

•Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {CAH} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Nên \(\widehat {CAH} = 90^\circ  - \widehat {BAH}\)

Mà \(\widehat {xAB} = \widehat {BAH}\) (giả thiết)

Suy ra \(\widehat {CAH} = \widehat {CAy}\)

Do đó AC là tia phân giác của \(\widehat {HAy}\)

Vậy AC là tia phân giác của \(\widehat {HAy}\) .

b) • Xét ∆ABD và ∆ABH có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {AHB}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AB là cạnh chung,

\(\widehat {DAB} = \widehat {HAB}\) (giả thiết),

Do đó ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BD = BH , AD = AH (các cặp cạnh tương ứng).

• Xét ∆ACE và ∆ACH có:

\(\widehat {AEC} = \widehat {AHC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AC là cạnh chung,

\(\widehat {CAH} = \widehat {CAE}\) (chứng minh câu a),

Do đó ∆ACE = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = CH, AE = AH (các cặp cạnh tương ứng).

•Ta có BC = BH + CH

Mà BD = BH, CE = CH.

Do đó BC = BD + CE.

Vậy BC = BD + CE.

c) Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của EH và AC.

• Xét ∆ADI và ∆AHI có:

AD = AH (chứng minh câu b),

\(\widehat {DAI} = \widehat {HAI}\) (do \(\widehat {xAB} = \widehat {BAH}\)),

AI là cạnh chung.

Do đó ∆ADI = ∆AHI (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {ADI} = \widehat {AHI}\) (hai góc tương ứng).

Hay \(\widehat {ADH} = \widehat {AHD}\).

• Xét ∆AHK và ∆AEK có:

AH = AE (chứng minh câu b),

\(\widehat {HAK} = \widehat {EAK}\) (do \(\widehat {HAC} = \widehat {EAC}\)),

AK là cạnh chung

Do đó ∆AHK = ∆AEK (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AHK} = \widehat {AEK}\) (hai góc tương ứng).

 

Hay \(\widehat {AHE} = \widehat {AEH}\).

Xét ∆ADH có: \(\widehat {ADH} + \widehat {AHD} + \widehat {HAD} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác).

Mà \(\widehat {ADH} = \widehat {AHD}\) nên \(\widehat {AHD} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAD}}}{2}\)

 Xét ∆AEH có: \(\widehat {AEH} + \widehat {AHE} + \widehat {HAE} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Mà \(\widehat {AHE} = \widehat {AEH}\) nên \(\widehat {AHE} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAE}}}{2}\)

Ta có

\(\widehat {DHE} = \widehat {AHD} + \widehat {AHE} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAD}}}{2} + \frac{{180^\circ  - \widehat {HAE}}}{2} = \frac{{{{360}^o} - \left( {\widehat {HA{\rm{D}}} + \widehat {HA{\rm{E}}}} \right)}}{2} = \frac{{{{360}^o} - {{180}^o}}}{2} = {90^o}\)

Suy ra DH vuông góc với  HE.

Vậy DH vuông góc với  HE.

 

 
Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved