Bài 41 trang 39 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\left( {\dfrac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {\dfrac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right)^2} = 1\) với \(a \ge 0\) và \(a \ne 1\)

b) \(\dfrac{{a + b}}{{{b^2}}}.\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}}  = \left| a \right|\) với \(a + b > 0\) và \(b \ne 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ \(\sqrt{A^2}=|A|\).  

+ \(|A|=A \)    nếu    \(A \ge 0\),

    \(|A|=-A\)     nếu    \(A < 0\).

+ Sử dụng các hằng đẳng thức: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2;\) \(a^2- b^2=(a+b).(a-b);\) \(a^3- b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

Lời giải chi tiết

a) \(\left( {\dfrac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {\dfrac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right)^2}\)\( = \left[ {\dfrac{{1 - {{\left( {\sqrt a } \right)}^3}}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right]{\left[ {\dfrac{{1 - \sqrt a }}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)}}} \right]^2}\) \( = \left[ {\dfrac{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a  + a} \right)}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right]{\left[ {\dfrac{1}{{1 + \sqrt a }}} \right]^2}\)

\( = \left( {1 + 2\sqrt a  + a} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{{1 + \sqrt a }}} \right)^2}\)

\( = \dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}}\)

\( = 1\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.

b) Biến đổi vế trái, ta có :

\(\dfrac{{a + b}}{{{b^2}}}.\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}}  = \left| a \right|\) với \(a + b > 0\) và \(b \ne 0\)

\( = \dfrac{{a + b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{{\left( {a{b^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \)

\( = \dfrac{{a + b}}{{{b^2}}} \cdot \dfrac{{\left| {a{b^2}} \right|}}{{ {a + b} }}\)

\( = \dfrac{{\left| a \right|.{b^2}}}{{{b^2}}} = \left| a \right|\)

Vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức đúng.