Bài 42 trang 40 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết

\(M = \left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a  - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{a - 2\sqrt a  + 1}}\) với \(a > 0\) và \(a \ne 1\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng các phép tính và các phép biến đổi để thu gọn M.

+ Sử dụng hằng đẳng thức số \(2\): \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). 

+ Sử dụng phép biến đổi đặt nhân tử chung. 

- So sánh giá trị của M với 1.

Lời giải chi tiết

Với điều kiện \(a > 0\) và \(a \ne 1\), ta rút gọn M như sau :

\(M = \left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a  - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{a - 2\sqrt a  + 1}}\)

\( = \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{a - 2\sqrt a  + 1}}\)

\( = \dfrac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}} \cdot \dfrac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a  + 1}}\)

\( = \dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a }} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }}\)

Vậy \(M = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }}\)

Ta có : \(\dfrac{1}{{\sqrt a }} > 0\) (vì \(a > 0\) ) nên \(1 - \dfrac{1}{{\sqrt a }} < 1\)

Vậy \(M < 1\) .