Bài 43 trang 107 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho hai đoạn thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(E.\) Biết \(AE.EC = BE.ED\). Chứng minh bốn điểm \(A, B, C, D \)cùng nằm trên một đường tròn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Các điểm cùng nhìn một cạnh cố định dưới góc bằng nhau thì các điểm đó cùng thuộc một cung chứa góc vẽ trên cạnh cố định.

+) Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Lời giải chi tiết

Từ \(AE. EC =BE. ED \;\;(gt)\) 

\( \Rightarrow \displaystyle {{AE} \over {ED}} = {{BE} \over {EC}}\)

Xét \(∆AEB\) và \(∆DEC:\)

\(\displaystyle {{AE} \over {ED}} = {{BE} \over {EC}}\)

\(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\) (đối đỉnh)

Suy ra: \(∆AEB\) đồng dạng \(∆DEC\;\; (c.g.c)\)

\( \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {CDE}\) hay \(\widehat {BAC} = \widehat {CDB}\)

Từ đó: \(A\) và \(D\) nhìn đoạn \(BC\) cố định dưới một góc bằng nhau nên \(4\) điểm \(A,B, C, D\) nằm trên một đường tròn.