Bài 45 trang 14 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong bốn ngày thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?

Lời giải chi tiết

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (ngày), thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\) (ngày).

Điều kiện: \(x > 4; y > 4\)

Trong \(1\) ngày người thứ nhất làm được \(\displaystyle{1 \over x}\) (công việc)

Trong 1 ngày người thứ hai làm được \(\displaystyle{1 \over y}\) (công việc)

Vì hai người làm chung trong bốn ngày thì xong việc nên trong 1 ngày cả hai người làm được \(1:4 = \displaystyle{1 \over 4}\) (công việc)

Do đó ta có phương trình: \(\displaystyle{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over 4}\)

Nếu người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc, tức là người thứ nhất làm trong \(10\) ngày và người thứ hai làm trong \(1\) ngày thì xong công việc. Khi đó ta có phương trình:

 \(\displaystyle{{10} \over x} + {1 \over y} = 1\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over 4}} \cr 
\displaystyle{{{10} \over x} + {1 \over y} = 1} \cr} } \right.\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\)\((a>0;b>0)\) 

Khi đó hệ phương trình trên trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{1 \over 4}} \cr 
{10a + b = 1} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{9a = \displaystyle{3 \over 4}} \cr 
{a + b =\displaystyle {1 \over 4}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle{1 \over {12}}} \cr 
{\displaystyle{1 \over {12}} + b = {1 \over 4}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle{1 \over {12}}} \cr 
{b = \displaystyle{1 \over 6}} \cr} } \right. \text{(thỏa mãn)} \cr} \)

Suy ra:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over {12}}} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over 6}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 12} \cr 
{y = 6} \cr} } \right.\)

Ta thấy \(x = 12; y = 6\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy người thứ nhất làm một mình trong \(12\) ngày thì xong công việc, người thứ hai làm một mình trong \(6\) ngày thì xong công việc.