Bài 47 trang 112 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho \(x\) là một góc nhọn, biểu thức sau đây có giá trị âm hay dương? Vì sao?

a) \(sin x-1\) 

b) \(1-\cos x\)

c) \(\sin x-\cos x\)

d) \(tgx-cotgx\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \) với thì \({\mathop{\rm sinx}\nolimits}  < 1\), suy ra \({\mathop{\rm sinx}\nolimits}  - 1 < 0\)

b) Ta có: \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \) với thì \({\mathop{\rm cosx}\nolimits}  < 1\), suy ra \(1 - \cos x > 0\)

c) Ta có:  

*  Nếu \(x = 45°\) thì \(sinx = cosx\), suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x = 0\)

*  Nếu \(x < 45°\) thì \(\cos x = \sin (90^\circ  - x)\)

Vì \(x < 45°\) nên \(90^\circ  - x > 45^\circ \) hay \(x<90^\circ  - x \), suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} < \sin (90^\circ  - x)\)

Vậy \(\sin x<\cos x\) hay \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x < 0\)

*  Nếu \(x > 45°\)  thì \(\cos x = \sin (90^\circ  - x)\)

Vì \(x > 45°\) nên \(90^\circ  - x < 45^\circ \) hay \(x>90^\circ  - x \), suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} > \sin (90^\circ  - x)\)

Vậy \(\sin x>\cos x\) hay \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - c{\rm{osx > 0}}\).

d) Ta có:

*     Nếu \(x = 45°\) thì \(tgx = cotgx\), suy ra: \(tgx - cotgx = 0\)

*     Nếu \(x < 45°\)  thì \(\cot gx = tg(90^\circ  - x)\)

Vì \(x < 45°\)  nên \(90^\circ  - x > 45^\circ \) hay \(x<90^\circ  - x \), suy ra: \(tgx < tg(90^\circ  - x)\)

Vậy \(tgx < cotgx \) hay \(tgx – cotgx < 0.\)

*     Nếu \(x > 45°\)  thì \(\cot gx = tg(90^\circ  - x)\)

Vì \(x > 45°\)  nên \(90^\circ  - x < 45^\circ \) hay \(x>90^\circ  - x \), suy ra: \(tgx > tg(90^\circ  - x)\)

Vậy  \(tgx > cotgx \) hay \(tgx – cotgx > 0.\)