Bài 49 trang 48 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho biểu thức

\(Q = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\dfrac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với \(a > b > 0\)

a) Rút gọn Q

b) Xác định giá trị của Q khi \(a = 3b\) 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Vận dụng các phép biến đổi biểu thức chứa căn và tính các phép tính để rút gọn biểu thức.

b) Thay \(a = 3b\) vào biểu thức vừa rút gọn rồi tính giá trị của Q.

Lời giải chi tiết

a) Ta biến đổi Q như sau :

\(Q = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\dfrac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\( = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {\dfrac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}}  + a}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right) \times \dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b}\)

\( = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}}  + a} \right)\left( {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} } \right)}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\( = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} - {{\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}} } \right)}^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\( = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} - {a^2} + {b^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\( = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{b^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\(= \dfrac{{ab - {b^2}}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\(= \dfrac{{b\left( {a - b} \right)}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\( = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

b) Thay \(a = 3b\) vào biểu thức rút gọn của Q, ta có :

\(Q = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\( = \dfrac{{3b - b}}{{\sqrt {{{\left( {3b} \right)}^2} - {b^2}} }}\) \( = \dfrac{{2b}}{{\sqrt {8{b^2}} }} = \dfrac{{2b\sqrt {8{b^2}} }}{{\left| {8{b^2}} \right|}}\) \( = \dfrac{{2b.2\sqrt 2 b}}{{8{b^2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Vậy giá trị của Q khi \(a = 3b\) là \(Q = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) .

Chú ý khi giải :

Có thể rút gọn Q về dạng

\(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)\( = \dfrac{{\sqrt {a - b} \sqrt {a - b} }}{{\sqrt {\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)} }} \)\(= \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }}\)