1. Nội dung câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó
\(\left\{ \begin{array}{l}x' = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}y\\y' = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}y\end{array} \right.\)
Hãy chứng minh h là một phép dời hình.
2. Phương pháp giải
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (không làm thay đổi khoảng cách) giữa 2 điểm bất kì.
3. Lời giải chi tiết
Lấy hai điểm bất kì \(M({x_1};{\rm{ }}{y_1}),{\rm{ }}N({x_2};{\rm{ }}{y_2}).\)
Suy ra \(MN = \sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \).
Ta có ảnh của M, N qua phép biến hình h là \({\rm{M'}}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1};\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1}} \right),{\rm{N'}}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2}} \right)\)
Khi đó
\({\rm{M'N'}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \)
\(\begin{array}{l} = \sqrt {\frac{1}{2}{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{y}}_2} - {{\rm{x}}_1} + {{\rm{y}}_1}} \right)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {{{\rm{x}}_2} + {{\rm{y}}_2} - {{\rm{x}}_1} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sqrt {{{\left[ {\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right) - \left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right) + \left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)} \right]}^2}} \end{array}\)
\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {2{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + 2{{\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \) (khai triển bình phương)
\(\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \\ = {\rm{ }}MN\end{array}\)
Vậy h là một phép dời hình.
Đề cương ôn tập học kì 2
Chuyên đề 2: Một số vấn đề về pháp luật dân sự
Chủ đề 2: Kĩ thuật chuyền, bắt bóng và đột phá
Tải 20 đề kiểm tra 15 phút - Chương 2
Bài 4. Một số vấn đề về vi phạm pháp luật bảo vệ môi trường
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11