Bài 50 trang 108 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Trong đường tròn \((O; R)\) cho một dây \(AB\) bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây \(BC\) bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (điểm \(C\) và điểm \(A\) ở cùng một phía đối với \(BO\)). Tính các cạnh của tam giác \(ABC\) và đường cao \(AH\) của nó theo \(R.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)

Lời giải chi tiết

Dây \(AB\) bằng cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn \((O; R)\) nên \(AB = R\sqrt 2 \) và cung \(\overparen{AB}\) nhỏ có  \(sđ \overparen{AB}=360^0:4=90^\circ\).

Dây \(BC\) bằng cạnh hình tam giác đều nội tiếp đường tròn \((O; R)\) nên \(BC = R\sqrt 3 \) và cung nhỏ \(\overparen{BC}\) có  \(sđ \overparen{BC}= 360^0:3=120^\circ \).

\( \Rightarrow  sđ \overparen{AC} = sđ \overparen{BC} - sđ \overparen{AB}\) \(=120^\circ  - 90^\circ  = 30^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AC}=15^\circ\) (tính chất góc nội tiếp)

Trong \(∆AHB\) có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow AH = AB.\sin \widehat {ABH} \)\(= R\sqrt 2 .\sin 15^\circ  \approx 0,36R\)

Trong \(∆AHC\) có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {ACB} = \displaystyle{1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AB}=45^\circ\) (tính chất góc nội tiếp)

\(AC =\displaystyle {{AH} \over {\sin \widehat {ACH}}} \)\(=\displaystyle {{AH} \over {\sin 45^\circ }} \approx {{0,36R} \over {\sin 45^\circ }} \approx 0,51R\)