Bài 51 trang 120 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

a) Vẽ hình 58 (tạo bởi các cung tròn) với \(HI = 10 cm\) và \(HO = HI = 2cm\). Nêu cách vẽ:

b) Tính diện tích hình HOABINH (miền gạch chéo).

c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Vẽ các nửa đường tròn để tạo thành hình đã cho

b) Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn bán kính \(R\) là \(S = \pi {R^2}\) để suy ra diện tích miền gạch chéo

c) Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn bán kính \(R\) là \(S = \pi {R^2}\)

Lời giải chi tiết

a) Cách vẽ : 

- Vẽ đoạn thẳng \(HI = 10cm\). 

- Vẽ đường trung trực \(d\) của \(HI\). Gọi \(D\) là giao điểm của \(d\) với \(HI.\)

- Lấy \(D\) làm tâm vẽ cung tròn với bán kính \(\dfrac{{HI}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5cm,\) cắt \(d\) tại \(N\) và \(A.\)

- Lấy \(D\) làm tâm vẽ cung tròn với bán kính \(DB = 3cm\) về phía đối diện cung \(HNI,\) cắt \(HI\) tại \(O\) và \(B.\)

- Lấy điểm chính giữa của \(HO\) làm tâm, vẽ cung tròn với bán kính bằng \(1cm.\)

- Lấy điểm chính giữa của \(BI\) làm tâm, vẽ cung tròn với bán kính bằng \(1cm.\)

b) Tính diện tích của hình gạch chéo :

Vì hình gạch chéo được tạo bởi các nửa đường tròn bán kính \(5cm;3cm\) và \(1cm.\)

Ta có : \({S_{HOABINH}} = {S_{HNIBO}} + {S_{BAO}};\)   (1)

             \({S_{HNIBO}} = {S_{HNI}} - 2{S_{OH}}.\)

(\({S_{OH}} = {S_{BI}}\) là diện tích nửa hình tròn đường kính \(OH = IB = 2cm).\)

\({S_{HNI}} = \dfrac{1}{2}\pi .D{H^2}\) và \(2{S_{OH}} = \pi {\left( {\dfrac{{HO}}{2}} \right)^2}\) \( \Rightarrow {S_{HNIBO}} = \dfrac{1}{2}\pi O{H^2} - \pi {\left( {\dfrac{{HO}}{2}} \right)^2}\)\( = \dfrac{{23\pi }}{2}\)       (2)  

\({S_{BAO}} = \dfrac{1}{2}\pi D{O^2} = \dfrac{{9\pi }}{2}\,\left( {c{m^2}} \right)\)                                                                                      (3) 

Thay kết quả từ (2) và (3) vào (1), ta được \({S_{HOABINH}} = \dfrac{{9\pi }}{2} + \dfrac{{23\pi }}{2} = 16\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

c) Gọi \(S\) là diện tích hình tròn đường kính \(NA;R\) là bán kính.

Ta có : \(NA = ND + DA = 5 + 3 = 8\left( {cm} \right).\) Bán kính \(R = \dfrac{1}{2} \cdot 8 = 4cm.\)  

\(S = \pi {R^2} = \pi {.4^2} = 16\pi \left( {c{m^2}} \right).\)

Vậy \({S_{HOABINH}} = S\)đường tròn đường kính NA  (đpcm).