Bài 53 trang 97 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = a = 12 cm,\) \(BC = b = 9cm.\) Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) xuống \(BD\) (h.38)

a) Chứng minh \(∆ AHB\) đồng dạng \(∆ BCD;\)

b) Tính độ dài đoạn thẳng \(AH\);

c) Tính diện tích tam giác \(AHB.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Định lí Pytago: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông. 

Lời giải chi tiết

a) Vì \(AB // CD\) (vì \(ABCD\) là hình chữ nhật) nên \(\widehat {ABH} = \widehat {BDC}\) (cặp góc so le trong).

Xét \( ∆ AHB\) và \(∆ BCD\) có:

+) \(\widehat {AHB} = \widehat {BCD} = 90^\circ \)

+) \(\widehat {ABH} = \widehat {BDC}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow ∆ AHB\) đồng dạng \(∆ BCD\) (g.g)

b) Vì \(∆ AHB\) đồng dạng \(∆ BCD\) suy ra \(\displaystyle{{AH} \over {BC}} = {{AB} \over {BD}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle AH = {{AB.BC} \over {BD}}\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(BCD\), ta có:

\( B{D^2} = B{C^2} + C{D^2}  ={9^2}+{12^2}  \)\(\,= 225  \)

\( \Rightarrow BD = 15\, (cm)\).

Vậy \(\displaystyle  AH = {{12.9} \over {15}} = 7,2\; (cm).\)

c) Vì \(∆ AHB\) đồng dạng \(∆ BCD\) theo tỉ số \(k = \displaystyle  {{AH} \over {BC}} = {{7,2} \over 9} = 0,8\)

Ta có \(\displaystyle  {{{S_{AHB}}} \over {{S_{BCD}}}} = {k^2} = {\left( {0,8} \right)^2} = 0,64\)

\(\Rightarrow {S_{AHB}} = 0,64.{S_{BCD}}\)

\(\displaystyle  {S_{BCD}} = {1 \over 2}BC.CD = {1 \over 2}.12.9 \)\(\,= 54(c{m^2})\)

\(\displaystyle  {S_{AHB}} = 0,64.{S_{BCD}} = 0,64.54 \)\(\,= 34,56(c{m^2})\)