Bài 6 trang 19 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Nội dung câu hỏi

Hai thành phố A, B nằm ở hai bên bờ của một con sông (Hình 13). Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song a, b. Tìm vị trí điểm M bên bờ a và N bên bờ b để xây dựng một chiếc cầu MN sao cho MN vuông góc với a, b và tổng khoảng cách AM + NB ngắn nhất.

3. Lời giải chi tiết

Gọi d là đường trung trực của đoạn MN.

Suy ra điểm N là ảnh của điểm M qua \({Đ_d}\)

Lấy điểm A’ là ảnh của điểm A qua \({Đ_d}\)

Suy ra đoạn A’N là ảnh của đoạn AM qua \({Đ_d}\)

Do đó \(A'N{\rm{ }} = {\rm{ }}AM.\)

Lấy điểm B’ là ảnh của điểm B qua

Suy ra b là đường trung trực của đoạn BB’.

Mà \(N \in b\)  (giả thiết).

Do đó \(NB'{\rm{ }} = {\rm{ }}NB.\)

Ta có \(AM{\rm{ }} + {\rm{ }}NB{\rm{ }} = {\rm{ }}A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'.\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆A’NB’, ta được: \(A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B'.\)

Do đó tổng khoảng cách \(AM{\rm{ }} + {\rm{ }}NB\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'{\rm{ }} = {\rm{ }}A'B'.\)

Tức là, ba điểm A’, N, B’ thẳng hàng.

Vậy N là giao điểm của A’B’ và bờ b, M là điểm nằm bên bờ a thỏa mãn M = Đ_d(N), với d là đường trung trực của đoạn MN, \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_d}\left( A \right),{\rm{ }}B'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_b}\left( B \right).\)