Giải bài 6 trang 76 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một cái cầu có dây cáp treo hình parabol, cầu dài 120 m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là 48 m, thanh ngắn nhất là 8 m (Hình 12). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 20 m.

Lời giải chi tiết

+ Ta chọn hệ tọa độ sao cho parabol có phương trình \({y^2} = 2px\)

Theo đề bài ta có: \(OB = 8\left( m \right),{\rm{ }}AC = 120\left( m \right),{\rm{ }}AD = 48\left( m \right).\)

\( \Rightarrow B( - 8;0),AB = 60(m)\)

Ta có: \({x_D} = AD - OB = 48 - 8 = 40;{y_D} = AB = 60\)

+ Mà \(D\left( {40;60} \right)\) thuộc parabol

 \( \Rightarrow {60^2} = 2.p.40 \Rightarrow p = \frac{{{{60}^2}}}{{80}} = 45\)

Vậy PT parabol đó là \({y^2} = 2.45.x\) hay \({y^2} = 90x\)

+ Điểm giữa cầu là O(0;0), điểm N cách điểm giữa cầu 20 m \( \Rightarrow N\left( {{x_N};20} \right)\), độ dài thanh ngang tương ứng là NM.

\(N\left( {{x_N};20} \right)\) thuộc parabol nên \({20^2} = 90{x_N} \Rightarrow IN = {x_N} = \frac{{{{20}^2}}}{{90}} \approx 4,44m\)

\( \Rightarrow MN = MI + IN = 8 + 4,44 \approx 12,44(m)\)

Vậy chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 20 m là khoảng 12,44 m