Bài 6 trang 99 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho hai đường đường tròn \((O; R)\) và \((O’;R’)\) cắt nhau tại \(A, B.\) Hãy so sánh \(R\) và \(R’\) trong các trường hợp sau:

\(a)\) Số đo cung nhỏ \(AB\) của \((O; R)\) lớn hơn số đo cung nhỏ \(AB\) của \((O’; R’).\)

\(b)\) Số đo cung lớn \(AB\) của \((O; R)\) nhỏ hơn số đo cung lớn \(AB\) của \((O; R’).\)

\(c)\) Số đo hai cung nhỏ bằng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \(360^o\) và số đo cung nhỏ(có chung hia mút với cung lớn).

+) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

+) Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn.

+) Hai cung được là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Trong \((O; R)\) ta có: \(\widehat {AOB}= sđ \overparen{AB}\) (nhỏ)

Trong \((O’; R)\) ta có: \(\widehat {AO'B} = sđ \overparen{AB}\) (nhỏ)

Vì số đo cung \(AB\) nhỏ của \((O; R)\) lớn hơn số đo cung \(AB\) nhỏ của \((O’; R’)\)

Suy ra: \(\widehat {AOB} > \widehat {AO'B}\)                   \((1)\)

Xét hai tam giác \(\Delta AOO'\) và \( \Delta BOO'\) có:

+) \(O'A=O'B=R'\)

+) \(OA=OB=R\)

+) \(OO'\) cạnh chung

Nên \(\Delta AOO' = \Delta BOO'\) \((c.c.c)\)

\( \Rightarrow \widehat {AOO'} = \widehat {BOO'} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOB}\)          \((2)\)

\(\widehat {AO'O} = \widehat {BO'O} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {AO'B}\)          \( (3)\)

Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat {AOO'} > \widehat {AO'O}\)

Trong \(\Delta AOO'\) ta có:  \(\widehat {AOO'} > \widehat {AO'O}\)

Suy ra: \(O’A > OA\) (bất đẳng thức tam giác) hay \(R’ > R\) 

Chú ý: Nếu các em vẽ hình như dưới đây thì ta lấy đối xứng đường tròn \((O)\) qua trục \(AB\) để chứng minh như trên.

\(b)\) Trong \((O; R)\) số đo cung lớn \(AB\) cộng với số đo cung nhỏ \(AB\) bằng \(360^o\)

Mà số đo cung lớn \(AB\) của \((O;R)\) nhỏ hơn số đo cung lớn \(AB\) của \((O’; R’)\)

Suy ra số đo cung nhỏ \(AB\) của \((O; R)\) lớn hơn số đo cung nhỏ của \((O’; R’)\)

Chứng minh tương tự câu \(a)\) ta có: \(R > R’.\)

\(c)\) Số đo hai cung nhỏ của \((O; R)\) và \((O’; R’)\) bằng nhau

\( \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {AO'B}\)

Suy ra: \(\widehat {AOO'} = \widehat {AO'O} \Rightarrow \Delta AOO'\) cân tại \(A\) nên \(OA = OA’\) hay \(R = R’.\)