Giải bài 7 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Mỗi tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Số tập hợp con có 0 phần tử là: $$ (tập rỗng)

Số tập hợp con có 1 phần tử là: $$

Số tập hợp con có k phần tử là: $$

$$Số tập hợp con của tập hợp có 12 phần tử là: $$

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

Thay $$ ta được $$

Cách 2:

Ta chứng minh bằng quy nạp công thức: Tập hợp A có n phần tử thì có $$ tập con.

Bước 1: Với $$ ta có A là tập rỗng có duy nhất $$ tập con là tập rỗng.

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp $$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $$, nghĩa là có:

Tập hợp A có k phần tử thì có $$ tập con

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với $$, nghĩa là cần chứng minh

Tập hợp A có $$ phần tử thì có $$ tập con

Thật vậy chọn ra k phần tử của A, từ đó tạo thành $$ tập con theo giả thiết quy nạp. Ngoài ra, với mỗi tập trong  $$tập này, ta bổ sung thêm phần tử thứ k+1 còn lại vào mỗi tập. Ta thu được thêm $$tập nữa. Do đó ta được tất cả $$ tập con

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên $$

Như vậy tập có 12 phần tử thì có tất cả $$ tập con.