Câu hỏi 7 - Mục Bài tập trang 76

1. Nội dung câu hỏi

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B’AC) tạo với đáy một góc \({30^0}\), khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D’AC) bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.

3. Lời giải chi tiết 

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có: \(AC \bot BD,AC \bot BB' \) \( \Rightarrow AC \bot \left( {BB'D} \right) \) \( \Rightarrow AC \bot B'O\)

Khi đó, \(BO \bot AC,B'O \bot AC,BO \subset \left( {ABCD} \right),B'O \subset \left( {B'AC} \right)\), AC là giao tuyến của (B’AC) và (ABCD). Do đó, \(\left( {\left( {B'AC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {BO,B'O} \right) = \widehat {B'OB} = {30^0}\)

Ta có: \(d\left( {B,\left( {D'AC} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {D'AC} \right)} \right) = \frac{a}{2}\)

Chứng minh được: \(AC \bot \left( {BB'D'D} \right) \) \( \Rightarrow \left( {D'AC} \right) \bot \left( {BB'D'D} \right)\) và D’O là giao tuyến của (D’AC) và (BB’D’D).

Từ D kẻ \(DH \bot D'O\left( {H \in D'O} \right)\). Do đó, \(d\left( {D,\left( {D'AC} \right)} \right) = DH = \frac{a}{2}\)

Xét tam giác B’OB vuông tại B có: \(\frac{{BB'}}{{BO}} = \tan {30^0} \) \( \Rightarrow OD = BO = \sqrt 3 BB'\)

Xét tam giác D’DO vuông tại D, đường cao DH có:

\(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{D'{D^2}}} \) \( \Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{1}{{3BB{'^2}}} + \frac{1}{{D'{D^2}}} \) \( \Rightarrow D'D = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \) \( \Rightarrow OB = a\)

Gọi I là giao điểm của BD’ và B’O, suy ra: \(\frac{{BI}}{{D'I}} = \frac{1}{2} \) \( \Rightarrow d\left( {D',\left( {B'AC} \right)} \right) = 2d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right) \) \( \Rightarrow {V_{ACB'D'}} = 2{V_{B'ABC}}\)

Tam giác AOB vuông tại O có: \(OA = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = 2{S_{ABO}} = 2.\frac{1}{2}.OB.OA = {a^2}\sqrt 3 \)

Suy ra: \({V_{B'ABC}} = \frac{1}{3}BB'.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.{a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^3}}}{3}\). Vậy \({V_{ACB'D'}} = \frac{{2{a^3}}}{3}\)