Bài 7.12 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai đường thẳng \(d:2x + y + 1 = 0\) và \(k:2x + 5y - 3 = 0\)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau. Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.

b) Tính tan của góc giữa hai đường thẳng

Lời giải chi tiết

a) Vectơ pháp tuyến của d và k lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;5} \right)\)

\(\Rightarrow \) Hai đường thẳng cắt nhau

Tìm giao điểm: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\2x + 5y - 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;1} \right)\)

b) Gọi \({k_1}\) và \({k_2}\) là hệ số góc của hai đường thẳng

+ \(d:2x + y + 1 = 0 \Rightarrow y =  - 2x - 1 \Rightarrow {k_1} =  - 2\)

+ \(k:2x + 5y - 3 = 0 \Rightarrow y =  - \frac{2}{5}x + \frac{3}{5} \Rightarrow {k_1} =  - \frac{2}{5}\)

+ Ta có: \(\tan \alpha  = \left| {\frac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right| = \left| {\frac{{ - 2 + \frac{2}{5}}}{{1 + \frac{4}{5}}}} \right| = \frac{8}{9}\)