Trả lời câu hỏi 7.46 - Mục câu hỏi trắc nghiệm trang 42

1. Nội dung câu hỏi

Cho hình chóp \(S.ABCD\)có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\)và\(BD\). Khoản cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng

A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

3. Lời giải chi tiết

Tính khoảng cách từ \(O\) tới \(mp\left( {SBC} \right)\):

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).

Theo giả thiết \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \supset BC\).

\( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SO \subset \left( {SOE} \right)\\BC \bot OE \subset \left( {SOE} \right)\\OE \cap SO = O\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(BC \bot \left( {SOE} \right)\) mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow \) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SOE} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(SE\)\( \Rightarrow OH \bot SE = \left( {SBC} \right) \cap \left( {SOE} \right)\), suy ra \(OH \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH\).

Ta có \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Trong \(\Delta SOE\) vuông tại \(O\), ta có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}}\) \( \Rightarrow \) \(OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\)

\( \Rightarrow \)\(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).