Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC;
b) KI là tia phân giác của góc EKD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh: giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.
- Chứng minh: A, I, K thẳng hàng.
KA là đường phân giác của góc EKD.
Suy ra: KI là tia phân giác của góc EKD.
Lời giải chi tiết
a) Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.
Suy ra I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.
Vậy I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
b) • Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\).
Vì CE là tia phân giác của góc ACB nên \(\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\).
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do tam giác ABC cân tại A).
Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \widehat {ACE} = \widehat {ECB}\)
• Xét ∆ABD và ∆ACE có:
\(\widehat {BAC}\) chung
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),
\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (chứng minh trên).
Do đó ∆ABD = ∆ACE (g.c.g).
Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng).
• Xét ∆ABK và ∆ACK có:
AB = AC (chứng minh trên),
AK là cạnh chung,
BK = CK (do K là trung điểm của BC).
Do đó ∆ABK = ∆ACK (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (hai góc tương ứng).
Hay \(\widehat {EAK} = \widehat {DAK}\).
• Xét ∆AEK và ∆ADK có:
AE = AD (chứng minh trên),
\(\widehat {EAK} = \widehat {DAK}\) (chứng minh trên),
AK là cạnh chung.
Do đó ∆AEK = ∆ADK (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {AKE} = \widehat {AKD}\) (hai góc tương ứng)
Nên KA là đường phân giác của góc EKD.
Mặt khác do \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) nên AK là tia phân giác của góc BAC.
Mà theo câu a, I thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC
Nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC.
Do vậy, ba điểm A, I, K thẳng hàng.
Khi đó KI cũng là đường phân giác của góc EKD.
Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 2 môn Ngữ văn lớp 7
Chương 1. Trồng trọt
Unit 8. I believe I can fly
Bài 3. Những góc nhìn văn chương
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 1 môn Toán lớp 7
Đề thi, đề kiểm tra Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 7
Bài tập trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
Đề thi, đề kiểm tra Toán - Cánh diều Lớp 7
Bài tập trắc nghiệm Toán - Cánh diều
Đề thi, đề kiểm tra Toán - Kết nối tri thức Lớp 7
Bài tập trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 7
Lý thuyết Toán Lớp 7
SBT Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 7
SBT Toán - Kết nối tri thức Lớp 7
SGK Toán - Cánh diều Lớp 7
SGK Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 7
SGK Toán - Kết nối tri thức Lớp 7
Tài liệu Dạy - học Toán Lớp 7
Vở thực hành Toán Lớp 7