Giải Bài 81 trang 92 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC;

b) KI là tia phân giác của góc EKD.

 

 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh: giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.

- Chứng minh: A, I, K thẳng hàng.

KA là đường phân giác của góc EKD.

Suy ra: KI là tia phân giác của góc EKD.

 

 

Lời giải chi tiết

 

a) Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

Suy ra I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.

Vậy I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

b) • Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\).

Vì CE là tia phân giác của góc ACB nên \(\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\).

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do tam giác ABC cân tại A).

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \widehat {ACE} = \widehat {ECB}\)

• Xét ∆ABD và ∆ACE có:

\(\widehat {BAC}\) chung

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),

\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (g.c.g).

Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng).

• Xét ∆ABK và ∆ACK có:

AB = AC (chứng minh trên),

AK là cạnh chung,

BK = CK (do K là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABK = ∆ACK (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (hai góc tương ứng).

Hay \(\widehat {EAK} = \widehat {DAK}\).

• Xét ∆AEK và ∆ADK có:

AE = AD (chứng minh trên),

\(\widehat {EAK} = \widehat {DAK}\) (chứng minh trên),

AK là cạnh chung.

Do đó ∆AEK = ∆ADK (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AKE} = \widehat {AKD}\) (hai góc tương ứng)

Nên KA là đường phân giác của góc EKD.

Mặt khác do \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) nên AK là tia phân giác của góc BAC.

Mà theo câu a, I thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC

Nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC.

Do vậy, ba điểm A, I, K thẳng hàng.

Khi đó KI cũng là đường phân giác của góc EKD.

Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.

 
Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved