Bài 82 trang 18 SBT toán 9 tập 1

LG câu a

Chứng minh: 

\( \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) 

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\( \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}\)

\( \displaystyle\eqalign{
& = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr 
& = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

LG câu b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \({x^2} + x\sqrt 3  + 1\). Giá trị đó đạt được khi \(x\) bằng bao nhiêu? 

Phương pháp giải:

- Thực hiện tách biểu thức đưa về dạng:

\({(a + b)^2 +m} \)

- Biện luận tìm giá trị nhỏ nhất: 

\({(a + b)^2} \ge 0\)

\(\Rightarrow {(a + b)^2} + m \ge m\). Dấu "=" xảy ra khi \(a+b=0\). 

Lời giải chi tiết:

Theo câu a) ta có:

\( \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)

Vì \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) bằng \( \displaystyle{1 \over 4}\) khi \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = 0\)

Suy ra \( \displaystyle x =  - {{\sqrt 3 } \over 2}.\)