Cho tam giác ABC vuông tại C có ˆCAB=60°CAB^=60° , AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:

a) EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA;

b) EC = ED = EK.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng mính: \(\widehat {KEB} = \widehat {DEB}\) suy ra EB là tía phân giác của góc DEK, \(\widehat {KEA} = \widehat {KEB}\) suy ra EK là tia phân giác của góc BEA.

- Chứng minh: ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra CE = KE và chứng minh ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra EK = ED. Từ đó suy ra EC = ED = EK.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC vuông tại C có \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra \(\widehat {CBA} = 90^\circ - \widehat {CAB} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Tam giác EBK vuông tại K có (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra \(\widehat {KEB} = 90^\circ - \widehat {KBE} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

•Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên \(\widehat {CAE} = \widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {CAB} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ \).

Tam giác ACE vuông tại C có \(\widehat {CEA} + \widehat {CAE} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra \(\widehat {CEA} = 90^\circ - \widehat {CAE} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)

Do đó \(\widehat {DEB} = \widehat {CEA} = 60^\circ \) (hai góc đối đỉnh).

Ta có \(\widehat {KEB} = \widehat {DEB}\) (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.

•Ta có \(\widehat {KEA} + \widehat {KED} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Hay \(\widehat {KEA} + \widehat {KEB} + \widehat {BED} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {KEA} = 180^\circ - \widehat {KEB} - \widehat {BED} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \)

Do đó \(\widehat {KEA} = \widehat {KEB}\) (cùng bằng 60°).

Nên EK là tia phân giác của góc BEA.

Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.

b) Xét ∆ACE và ∆AKE có:

\(\widehat {ACE} = \widehat {AKE}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AE là cạnh chung,

\(\widehat {CAE} = \widehat {KAE}\) (chứng minh câu a).

Do đó ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = KE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ∆EKB và ∆EDB có:

\(\widehat {EKB} = \widehat {E{\rm{D}}B}\left( { = 90^\circ } \right)\)

BE là cạnh chung,

\(\widehat {KEB} = \widehat {DEB}\) (chứng minh câu a)

Do đó ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra KE = DE (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có EC = EK = ED.

Vậy EC = ED = EK.

Fqa.vn

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024