Bài 86 trang 19 SBT toán 9 tập 1

LG câu a

Rút gọn \(Q\) với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\).

Phương pháp giải:

Các bước rút gọn biểu thức:

Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… nếu bài toán chưa cho)

Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.

Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.

Lời giải chi tiết:

Với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\), ta có: 

\(Q = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt a }}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 2}} - \dfrac{{\sqrt a  + 2}}{{\sqrt a  - 1}}} \right)\) 

\( = \dfrac{{\sqrt a  - \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\)\(:\dfrac{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right) - \left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\)

\( = \dfrac{\sqrt a  -  {\sqrt a  +1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:\dfrac{{a-1-(a-4)}}{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}\) 

\( = \dfrac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:\dfrac{{3}}{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}\) 

\( = \dfrac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}{3}\) 

\( = \dfrac{{\sqrt a  - 2}}{{3\sqrt a }}\) 

LG câu b

Tìm giá trị của \(a\) để \(Q\) dương. 

Phương pháp giải:

Cho \(Q>0\) để tìm \(a.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(a > 0\) nên \(\sqrt a  > 0\Leftrightarrow 3\sqrt a  > 0\)

Khi đó: \(Q = \dfrac{{\sqrt a  - 2}}{{3\sqrt a }}\) dương khi \(\sqrt a  - 2 > 0\)

Ta có: \(\sqrt a  - 2 > 0 \Leftrightarrow \sqrt a  > 2 \Leftrightarrow a > 4\)

Vậy khi \(a>4\) thì \(Q>0.\)