Bài 90 trang 121 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = 6cm\), \(AC = 8cm.\)

a) Tính \(BC,\widehat B,\widehat C\);

b) Phân giác của góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D\). Tính \(BD, CD\).

c) Từ \(D\) kẻ \(DE\) và \(DF\) lần lượt vuông góc với \(AB\) và \(AC\). Tứ giác \(AEDF\) là hình gì? Tính chu vi và diện tích của tứ giác \(AEDF\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng định lí Py-ta-go và tỉ số lượng giác.

b) Vận dụng tính chất đường phân giác tìm độ dài cạnh BD.

c) Áp dụng dấu hiệu nhận biết các hình tứ giác đã học.

   Tính chu vi và diện tích của tứ giác.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\), ta có: 

\(\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} \cr 
& = 36 + 64 = 100\,(cm) \cr} \)

Suy ra: \(BC = \sqrt {100}  = 10\,(cm)\)

Xét tam giác vuông ABC, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: \(\sin C =\displaystyle {{AB} \over {AC}} = {6 \over {10}} = 0,6\)

Suy ra: \(\widehat C = 36^\circ 52'\)

Ta có: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \) (vì tam giác ABC vuông tại A)

\( \Rightarrow \widehat B = 90^\circ  - \widehat C = 90^\circ  - 36^\circ 52'\)\( = 53^\circ 8'\)

b) Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC, nên: 

\(\displaystyle {{BD} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác)

Suy ra: \(\displaystyle {{BD} \over {BD + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle {{BD} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

Suy ra: \(BD = \displaystyle {{BC.AB} \over {AB+AC}} = {\displaystyle {10.6} \over {6+8}} = {{30} \over 7}\,(cm)\)

\(DC=BC-BD\)\(=10-\dfrac{30}{7}\)\(=\dfrac{40}{7}\)

c) Ta có: \(\widehat A = \widehat {AED} = \widehat {AFD} = {90^0}\)

Suy ra tứ giác \(AEDF\) có ba góc vuông nên hình đó là hình chữ nhật.

Mặt khác, \(D\) nằm trên tia phân giác của góc \(A\) nên \(DE=DF\) (tính chất tia phân giác của 1 góc)

Vậy tứ giác \(AEDF\) là hình vuông.

 Vì \(DE ⊥ AB, AC ⊥ AB\) nên \(DE // AC\)

Theo định lí Ta-lét trong tam giác BAC, ta có:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{CD}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\\
\Rightarrow AE = \dfrac{{CD.AB}}{{BC}} = \dfrac{{\dfrac{{40}}{7}.6}}{{10}} = \dfrac{{24}}{7}
\end{array}\)

Chu vi tứ giác \(AEDF\) bằng: \(4AE = 4.\displaystyle {{24} \over 7} = {{96} \over 7}\,(cm)\)

Diện tích tứ giác \(AEDF\) bằng: \(A{E^2} = \displaystyle {\left( {{{24} \over 7}} \right)^2} = {{576} \over {49}}\,\left( {c{m^2}} \right)\)