Bài 1. Căn bậc hai
Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
Bài 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
Bài 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Bài 5. Bảng căn bậc hai
Bài 6. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Bài 9. Căn bậc ba
Ôn tập chương I. Căn bậc hai. Căn bậc ba
Đề bài
Chứng minh:
\({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\)
Từ đó chứng tỏ:
a) Với ba số \(x, y, z\) không âm thì \(\dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3}\ge xyz\)
b) Với ba số \(a, b, c\) không âm thì \(\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \root 3 \of {abc} \)
(Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số \(a, b, c\) bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng hằng đẳng thức:
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
- Biến đổi cơ bản biểu thức và chứng minh vế phải bằng vế trái.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\)
\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} - 2yz + {z^2} + {z^2} - 2zx + {x^2}} \right)\)
\( = \dfrac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\)\(\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} \right)\)
\( = \left( {x + y + z} \right)\)\(\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)
\( = {x^3} + x{y^2} + x{z^2} - {x^2}y - xyz - {x^2}z\)
\( + {x^2}y + {y^3} + y{z^2} - x{y^2} - {y^2}z - xyz\)
\( + {x^2}z + {y^2}z + {z^3} - xyz - y{z^2} - x{z^2}\)
\( = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
a) Nếu \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\) thì:
\(x + y + z \ge 0\)
\({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - z} \right)^2} \ge 0\)
Theo đẳng thức đã chứng minh ở trên, suy ra:
\(\eqalign{
& {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz \cr} \)
Hay: \(\dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3} \ge xyz\)
b) Nếu \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\) thì \(\root 3 \of a \ge 0,\root 3 \of b \ge 0,\root 3 \of {c \ge 0} \)
Đặt \(x = \root 3 \of a ,y = \root 3 \of b ,z = \root 3 \of c \) thì x, y, z cũng không âm.
Từ chứng minh câu a, ta có: \(\dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3} \ge xyz\)
Hay:
\(\eqalign{
& {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of c } \right)}^3}} \over 3} \cr
& \ge \left( {\root 3 \of a } \right)\left( {\root 3 \of b } \right)\left( {\root 3 \of c } \right) \cr
& \Leftrightarrow {{a + b + c} \over 3} \ge \root 3 \of {abc} \cr} \)
Bài 1. Cộng đồng các dân tộc Việt Nam
Bài 10: Lí tưởng sống của thanh niên
CHƯƠNG II. ĐIỆN TỪ HỌC
CHƯƠNG VI. ỨNG DỤNG DI TRUYỀN HỌC
ĐỊA LÍ DÂN CƯ