Bài 99 trang 122 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Gọi \(AM, BN, CL\) là ba đường cao của tam giác \(ABC\). Chứng minh:

a) \(∆ANL\) đồng dạng \(∆ABC\);

b) \(AN.BL.CM\) \(= AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng kiến thức về hai tam giác đồng dạng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác \(BNA\) và \(CLA\), ta có:

\(\widehat {BNA} = \widehat {CLA} = 90^\circ \)

\(\widehat A\) chung

Suy ra \(∆BNA\) đồng dạng \(∆CLA\) (g.g)

Suy ra: \(\displaystyle {{AL} \over {AN}} = {{AC} \over {AB}} \Rightarrow {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)

Xét hai tam giác \(ABC\) và \(ANL\), ta có:

\(\displaystyle {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)

\(\widehat A\) chung

Suy ra \(∆ABC\) đồng dạng \(∆ANL\) (c.g.c)

b) \(ABN\) vuông tại \(N\) nên \(AN = AB.\cos \widehat B\,(1)\)

\(∆BCL\) vuông tại \(L\) nên \(BL = BC.\cos \widehat B\,(2)\)

\(∆ACM\) vuông tại \(M\) nên \(CM = AC.\cos \widehat C\,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

\(AN.BL.CM \)\(= AB.BC.CA.\cos \widehat A\cos \widehat B\cos \widehat C.\)