Đề kiểm tra 45 phút chương 3 phần Hình học 8 - Đề số 1

Đề bài

Câu 1:

Hãy chọn kết quả đúng. Tam giác ABC vuông tại A có độ dài AB=5cm, đường cao AH=4cm (h.57).

a) Độ dài của BH là:

A.$3,5$

B. $4$

C. $3$

D. $3,2$

b) Độ dài của HC là:

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{20}{3}$

C. $\frac{16}{3}$

D. $\frac{15}{4}$

c) Độ dài của AC là:

A. $\frac{20}{3}$

B. $\frac{25}{3}$

C. $\frac{25}{12}$

D. $4\sqrt{\frac{5}{6}}$

Câu 2. (7 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD) có $\hat{A}={90}^0$, cạnh BC vuông góc với đường chéo BD, đường phân giác của góc BDC cắt cạnh BC tại I. Cho biết độ dài AB=2,5cm và góc $\widehat{ABD}={60}^0$ (h.58)

a) Chứng minh rằng ΔIDC là tam giác cân.

b) Tính độ dài của các cạnh BC,AD,DC và độ dài của phân giác DI.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

Sử dụng định lý Pi – ta – go trong tam giác vuông và tam giác đồng dạng để tính độ dài các cạnh.

Cách giải:

a) Tam giác AHB vuông tại H nên $B{H}^2=A{B}^2-A{H}^2=5^2-4^2=9$ ⇒ BH=3.

Chọn C.

b) Xét tam giác AHB và CHA có:

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}={90}^{ }$(gt)

$\widehat{HAB}=\widehat{HCA}$ (cùng phụ với góc $\widehat{CBA}$)

⇒ ΔAHB∽ΔCHA(g.g)

⇒$\Rightarrow \frac{AH}{CH}=\frac{HB}{HA}$ $\Rightarrow HC=\frac{H{A}^2}{HB}=\frac{4^2}{3}=\frac{16}{3}$

Chọn C.

c) Ta có: $BC=BH+HC=3+\frac{16}{3}=\frac{25}{3}$

Áp dụng định lí Pi – ta – go cho tam giác vuông ABC có:

$A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2 ={\left(\frac{25}{3}\right)}^2-5^2=\frac{400}{9}$$={\left(\frac{25}{3}\right)}^2-5^2=\frac{400}{9}$ $\Rightarrow AC=\frac{20}{3}$

Chọn A.

Câu 2:

Phương pháp:

a) Chứng minh tam giác IDC có hai góc $\widehat{IDC}=\widehat{ICD}$ và suy ra IC=ID.

b) Sử dụng các tam giác đồng dạng và định lí Pi – ta – go để tính toán.

Chú ý kết quả: Tam giác vuông có một góc bằng ${30}^0$ thì cạnh đối cửa góc bằng nửa cạnh huyền.

Cách giải:

a) Tam giác ABC vuông tại A có:

$\widehat{ABD}+\widehat{ADB}={90}^0$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \widehat{ADB}={90}^0-\widehat{ABD}$$={90}^0-{60}^0={30}^0$

$\Rightarrow \widehat{BDC}=\widehat{ADC}-\widehat{ADB}$$={90}^0-{30}^0={60}^0$

$\Rightarrow \widehat{IDB}=\widehat{IDC}=\frac{\widehat{BDC}}{2}$$=\frac{{60}^0}{2}={30}^0$ (1)

Tam giác BDC vuông tại B có $\widehat{BDC}+\widehat{BCD}={90}^0$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \widehat{BCD}={90}^0-\widehat{BDC}$ $={90}^0-{60}^0={30}^0$ hay $\widehat{ICD}={30}^0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{IDC}=\widehat{ICD}$ nên tam giác ICD cân tại I

⇒ ID=IC (đpcm).

b) Tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ADB}={30}^0$ nên $AB=\frac{1}{2}BD$

⇒BD=2AB=2.2,5=5(cm)

Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có:

$A{D}^2=B{D}^2-A{B}^2$ $=5^2-2,5^2=\frac{75}{4}$ $\Rightarrow AD=\sqrt{\frac{75}{4}}\approx 4,33\left(cm\right)$

Tam giác BDC vuông tại B có $\widehat{BCD}={30}^0$ nên $BD=\frac{1}{2}DC$

⇒DC=2BD=2.5=10(cm)

Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có:

$B{C}^2=C{D}^2-B{D}^2={10}^2-5^2=75 \Rightarrow BC=\sqrt{75}\approx 8,66$.

Ta có: $\frac{IB}{IC}=\frac{DB}{DC}=\frac{1}{2} \Rightarrow IC=2IB$

Mà IC+IB=BC=8,66 ⇒2IB+IB=8,66 ⇒3IB=8,66⇒IB≈2,89

Áp dụng định lí Pi – ta – go ta có:

$D{I}^2=D{B}^2+B{I}^2=5^2+2,{89}^2$ $\Rightarrow DI=\sqrt{5^2+2,{89}^2}\approx 5,78\left(cm\right)$.